Question

如图，正方形ＡＢＣＤ的边长是４，∠ＤＡＣ的平分线交ＤＣ于点Ｅ，点Ｐ、Ｑ分别是边ＡＤ和ＡＥ上的动点（两动点都不与端点重合）．

（１）ＰＱ＋ＤＱ的最小值是　　　　　　　；

（２）说出ＰＱ＋ＤＱ取得最小值时，点Ｐ、点Ｑ的位置，并在图８中画出；

（３）请对（２）中你所给的结论进行证明．

 

 

Answer 1

（１）　（２）过点Ｑ作ＱＰ⊥ＡＤ，垂足即为点Ｐ（３）证明见解析

解析:解：（１）　；…………………………………………………………２分

（２）如图４，过点Ｄ作ＤＦ⊥ＡＣ，垂足为Ｆ，………………………３分

ＤＦ与ＡＥ的交点即为点Ｑ；………………………………………………４分

过点Ｑ作ＱＰ⊥ＡＤ，垂足即为点Ｐ；……………………………………５分

（３）由（２）知，ＤＦ为等腰Ｒt△ＡＤＣ底边上的高，

∴ＤＦ＝ＡＤ·sin４５°＝４×＝．…………………………６分

∵ＡＥ平分∠ＤＡＣ，Ｑ为ＡＥ上的点，

且ＱＦ⊥ＡＣ于点Ｆ，ＱＰ⊥ＡＤ于点Ｐ，

∴ＱＰ＝ＱＦ（角平分线性质定理），……………………………………７分

∴ＰＱ＋ＤＱ＝ＦＱ＋ＤＱ＝ＤＦ＝．

下面证明此时的ＰＱ＋ＤＱ为最小值：

在ＡＥ上取异于Ｑ的另一点Ｑ_１（图5）．…………………………………９分

①过Ｑ_１点作Ｑ_１Ｆ_１⊥ＡＣ于点Ｆ_１，………………………………………１０分

过Ｑ_１点作Ｑ_１Ｐ_１⊥ＡＤ于点Ｐ_１，…………………………………………１１分

则Ｐ_１Ｑ_１＋ＤＱ_１＝Ｆ_１Ｑ_１＋ＤＱ_１，

由“一点到一条直线的距离”，可知，垂线段最短，

∴得Ｆ_１Ｑ_１＋ＤＱ_１＞ＦＱ＋ＤＱ，

即Ｐ_１Ｑ_１＋ＤＱ_１＞ＰＱ＋ＤＱ．…………………………………………１２分

②若Ｐ_２是ＡＤ上异于Ｐ_１的任一点，………………………………………１３分

可知斜线段Ｐ_２Ｑ_１＞垂线段Ｐ_１Ｑ_１，………………………………………１４分

∴Ｐ_２Ｑ_１＋ＤＱ_１＞Ｐ_１Ｑ_１＋ＤＱ_１＞ＰＱ＋ＤＱ．

从而可得此处ＰＱ＋ＤＱ的值最小．

此题考核正方形的性质，利用垂线段最短求证最小值