Question

18．如图，一轻弹簧原长为2R，其一端固定在倾角为37°的固定直轨道AC的底端A处，另一端位于直轨道上B处，弹簧处于自然状态，直轨道与一半径为$\frac{5}{6}$R的光滑圆弧轨道相切于C点，AC=7R，A、B、C、D均在同一竖直面内．质量为m的小物块P自C点由静止开始下滑，最低到达E点（未画出），随后P沿轨道被弹回，最高点到达F点，AF=4R，已知P与直轨道间的动摩擦因数μ=$\frac{1}{4}$，重力加速度大小为g．（取sin37°=$\frac{3}{5}$，cos37°=$\frac{4}{5}$）
（1）求P第一次运动到B点时速度的大小．
（2）求P运动到E点时弹簧的弹性势能．
（3）改变物块P的质量，将P推至E点，从静止开始释放．已知P自圆弧轨道的最高点D处水平飞出后，恰好通过G点．G点在C点左下方，与C点水平相距$\frac{7}{2}$R、竖直相距R，求P运动到D点时速度的大小和改变后P的质量．

Answer 1

分析 （1）对物体从C到B的过程分析，由动能定理列式可求得物体到达B点的速度；
（2）同（1）的方法求出物块返回B点的速度，然后对压缩的过程与弹簧伸长的过程应用功能关系即可求出；
（3）P离开D点后做平抛运动，将物块的运动分解即可求出物块在D点的速度，E到D的过程中重力、弹簧的弹力、斜面的阻力做功，由功能关系即可求出物块P的质量．

解答 解：（1）C到B的过程中重力和斜面的阻力做功，所以：
$mg•\overline{BC}sin37°-μmgcos37°•\overline{BC}=\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}-0$
其中：$\overline{BC}=\overline{AC}-2R$
代入数据得：${v}_{B}=2\sqrt{gR}$
（2）物块返回B点后向上运动的过程中：
$-mg•\overline{BF}sin37°-μmgcos37°•\overline{BF}=0-\frac{1}{2}m{v′}_{B}^{2}$
其中：$\overline{BF}=\overline{AF}-2R$
联立得：${v}_{B}′=\sqrt{\frac{16gR}{5}}$
物块P向下到达最低点又返回的过程中只有摩擦力做功，设最大压缩量为x，则：
$-μmgcos37°•2x=\frac{1}{2}mv{′}_{B}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$
整理得：x=R
物块向下压缩弹簧的过程设克服弹力做功为W，则：
$mgx•sin37°-μmgcos37°•x-W=0-\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$
又由于弹簧增加的弹性势能等于物块克服弹力做的功，即：E_P=W
所以：E_P=2.4mgR
（3）由几何关系可知图中D点相对于C点的高度：

h=r+rcos37°=1.8r=$1.8×\frac{5}{6}R$=1.5R
所以D点相对于G点的高度：H=1.5R+R=2.5R
小球做平抛运动的时间：t=$\sqrt{\frac{2H}{g}}=\sqrt{\frac{5R}{g}}$
G点到D点的水平距离：L=$\frac{7}{2}R-rsin37°$=$\frac{7}{2}R-\frac{5}{6}R×\frac{3}{5}=3R$
由：L=v_Dt
联立得：${v}_{D}=\frac{3}{5}\sqrt{5gR}$
E到D的过程中重力、弹簧的弹力、斜面的阻力做功，由功能关系得：
${E}_{P}-m′g（\overline{EC}sin37°+h）-μm′gcos37°•\overline{EC}=\frac{1}{2}m′{v}_{D}^{2}-0$
联立得：m′=$\frac{1}{3}m$
答：（1）P第一次运动到B点时速度的大小是$2\sqrt{gR}$．
（2）P运动到E点时弹簧的弹性势能是2.4mgR．
（3）改变物块P的质量，将P推至E点，从静止开始释放．已知P自圆弧轨道的最高点D处水平飞出后，恰好通过G点．G点在C点左下方，与C点水平相距$\frac{7}{2}$R、竖直相距R，求P运动到D点时速度的大小是$\frac{3}{5}\sqrt{5gR}$，改变后P的质量是$\frac{1}{3}$m．

点评 本题考查功能关系、竖直面内的圆周运动以及平抛运动，解题的关键在于明确能达到E点的，并能正确列出动能定理及理解题目中公式的含义．