Question

11．《疯狂动物城》电影片段中，质量m=10kg的小兔朱迪（可视为质点）为了成为一名优秀的警察，在训练场刻苦训练，在一项弹射飞人的训练中，弹射装置被安装在光滑水平面上，光滑竖直缓冲墙距弹射出口的水平距离为L=2m，其下边缘距弹射出口高度h₁=3.2m，且距水面高度h₂=1.25m．
（1）第一次朱迪被水平弹出后，恰好经过缓冲撞的下边缘落入水中，求第一次朱迪被弹出时的初速度v₁的大小．
（2）第二次朱迪以v₂=4m/s的初速度水平弹出，撞到缓冲墙后，只保留碰撞前瞬间的竖直分速度贴着墙面下滑并掉入水中，若水对朱迪的平均浮力为f₁=245N，平均阻力f₂=300N，求朱迪落入水中的最大深度d．
（3）小明同学认为被弹射的初速度越大，撞到缓冲墙前动能越小，小强同学认为被弹射的初速度越小，撞到缓冲墙前动能越小．请通过计算说明，若要求撞到缓冲墙前瞬间的动能最小，则被弹射的水平初速度为多大？

Answer 1

分析 （1）朱迪被水平弹出后做平抛运动，根据水平和竖直两个方向的分位移大小，由分位移公式求解初速度v₁．
（2）根据水平位移和初速度求得朱迪平抛运动的时间，从而求得他到达墙面时竖直分速度，再对他下落的整个过程，运用动能定理求落入水中的最大深度d．
（3）根据平抛运动的规律和动能与速度的关系得到撞到缓冲墙前瞬间的动能与初速度的表达式，再由数学知识求动能最小的条件．

解答 解：（1）朱迪被水平弹出后做平抛运动，则有
  h₁=$\frac{1}{2}g{t}_{1}^{2}$
得 t₁=$\sqrt{\frac{2{h}_{1}}{g}}$=$\sqrt{\frac{2×3.2}{10}}$s=0.8s
由 L=v₁t₁得 
  v₁=$\frac{L}{{t}_{1}}$=$\frac{2}{0.8}$=2.5m/s
（2）由 L=v₂t₂得
  t₂=$\frac{L}{{v}_{2}}$=$\frac{2}{4}$s=0.5s
撞墙时下落的高度 h′=$\frac{1}{2}g{t}_{2}^{2}$=$\frac{1}{2}×10×0．{5}^{2}$=1.25m
撞墙前瞬间竖直分速度 v_y=gt₂=10×0.5=5m/s
对撞墙后瞬间到落入水中最深处的整个过程，由动能定理得：
   mg（h₁-h′+h₂+d）-（f₁+f₂）d=0-$\frac{1}{2}m{v}_{y}^{2}$
代入数据解得 d=1m
（3）朱迪撞墙前瞬间的动能 E_k=$\frac{1}{2}m（{v}_{0}^{2}+{v}_{y}^{2}）$
且 v_y=gt，t=$\frac{L}{{v}_{0}}$，即 v_y=$\frac{gL}{{v}_{0}}$
得 E_k=$\frac{1}{2}m[{v}_{0}^{2}+（\frac{20}{{v}_{0}}）^{2}]$
根据数学知识可知，当${v}_{0}^{2}$=$（\frac{20}{{v}_{0}}）^{2}$，即 v₀=$\frac{20}{{v}_{0}}$，v₀=2$\sqrt{5}$m/s时，有最小值．
又因为 v₀=2$\sqrt{5}$m/s≥2.5m/s，所以当v₀=2$\sqrt{5}$m/s时他撞到缓冲墙前瞬间的动能最小．
答：当初速度为2$\sqrt{5}$m/s时他撞到缓冲墙前瞬间的动能最小．

点评 本题的关键要明确朱迪的运动过程，掌握平抛运动的研究方法：运动的分解法，运用解析式研究动能的最小值．