Question

9．如图1所示，质量m=50kg的运动员（可视为质点）在河岸上A点紧握一根长L=5.0m的不可伸长的轻绳，轻绳另一端系在距离水面高H=10.0m的O点，此时轻绳与竖直方向的夹角为θ=37°，C点是位于O点正下方水面上的一点，距离C点x=4.8m处的D点有一只救生圈，O、A、C、D各点均在同一竖直面内．若运动员抓紧绳端点，从台阶上A点沿垂直于轻绳斜向下以一定初速度v₀跃出，当摆到O点正下方的B点时松开手，最终恰能落在救生圈内．（sin37°=0.6，cos37°=0.8，g取10m/s²）求：

（1）运动员经过B点时速度的大小v_B；
（2）运动员从台阶上A点跃出时的动能E_k；
（3）若初速度v₀不一定，且使运动员最终仍能落在救生圈内，则救生圈离C点距离x将随运动员离开A点时初速度v₀的变化而变化．试在如图2的坐标系中粗略作出v₀-x的图象，并标出图线与x轴的交点．

Answer 1

分析 （1）运动员从B点到D点做平抛运动，根据平抛运动的规律可以求得在B点的速度的大小；
（2）从A点到B点的过程中人的机械能守恒，根据机械能守恒定律可以求得人的初动能的大小；
（3）人离开B点之后做的是平抛运动，所以水平方向是匀速直线运动，由动能定理可以表示出初速度的大小，从而可以求得x和初速度v₀的关系，再画出图象．

解答 解：（1）运动员从B点到D点做平抛运动
 H-L=$\frac{1}{2}$gt²…①
 x=v_Bt…②
由①②式代入数据解得 v_B=4.8m/s
所以运动员经过B点时速度的大小为4.8m/s．
（2）运动员从A点到B点的过程中，由机械能守恒定律有：
mgh_AB=$\frac{1}{2}$mv_B²-E_k…③
其中：h_AB=L（1-cosθ）…④
由③④式代入数据解得：E_k=76J，
运动员从台阶上A点跃出时的动能E_k大小为76J．
（3）设运动员经O点正下方时的速度为v_B′，B到水面的距离为h，则有：
$\frac{1}{2}m{v}_{B}^{′2}$-$\frac{1}{2}$mv₀²=mg（H-Lcos37°-h）…⑤
  x=v_B′•$\sqrt{\frac{2h}{g}}$…⑥
由⑤⑥解得：x²-v₀²=20…⑦
x-v₀的图象如图所示：
答：
（1）运动员经过B点时速度的大小v_B是4.8m/s．
（2）运动员从台阶上A点跃出时的动能E_k是76J．
（3）作出v₀-x的图象如图所示．

点评 本题需要把人的运动过程分解开，逐一来分析求解，把握每个过程的物理规律，运用机械能守恒和平抛运动规律求解．