Question

18．小船在静水中的速度为4m/s，水流速度为3m/s，河宽60m，求：
（1）过河的最短时间为多少？小船在河水中实际行驶的距离是多大？
（2）若要小船以最短距离过河，开船方向怎样（即船头与河岸上游或下游夹角）？过河时间为多少？（结果可用三角函数表示，如有根式可保留）

Answer 1

分析 （1）当静水速与河岸垂直时，渡河时间最短，由位移与速度的关系，即可求出最短时间；
（2）因船在静水中的速度大于水流速度，当船的合速度垂直河岸时，船渡河的位移最短，最短位移即为河宽，由d=vt即可求出时间．

解答 解：（1）设河宽为d，水速为v₁，船在静水中的航速为v₂，当小船的船头始终正对河岸时，渡河时间最短设为t，则有：
t=$\frac{d}{{v}_{2}}$=$\frac{60}{4}$s=15s；
则船沿着水流方向的位移为：s=v_st=3×15m=45m；
那么小船实际渡河的位移为：x=$\sqrt{{d}^{2}+{s}^{2}}$=$\sqrt{6{0}^{2}+4{5}^{2}}$m=75m；
（2）因为v_船＞v_水，要使小船航程最短，小船船头方向需斜向上游，设船头与河岸的夹角为θ，则有：$Cosθ=\frac{v_水}{v_船}=\frac{3}{5}=0.6$
所以得：θ=53°
船渡河的位移最短，最短位移即为河宽60m；此时小船实际渡河的时间为：t′=$\frac{d}{{v}_{合}}$=$\frac{60}{\sqrt{{4}^{2}-{3}^{2}}}$=$\frac{60\sqrt{7}}{7}$s．
答：（1）求小船渡河的最小时间是15s，此时小船实际渡河的位移为75m；
（2）船头与河岸上游的夹角cosα=$\frac{3}{4}$，过河时间$\frac{60\sqrt{7}}{7}$S

点评 解决本题的关键知道合运动与分运动具有等时性，当静水速与河岸垂直，渡河时间最短；当合速度与河岸垂直，渡河航程最短．