Question

5．在如图所示的直角坐标系中，二三象限均在匀强电场，方向与y轴正方向成θ=45°，在一四象限存在垂直于直面向外的磁感应强度为B的匀强磁场，磁场区域的宽度为d，在第三象限有一粒子发射源，沿MO的方向发射一系列的初速度为零的粒子，粒子的质量为m，电荷量为+q，若粒子发射源M的坐标为（-d，-d）时，发出的粒子刚好垂直于边界AB离开磁场，如果发射源的位于MO连线上的N点时，如图所示的位置，发出的粒子刚好不能从AB边界离开磁场，忽略粒子的重力，求：
（1）二三象限电场的电场强度的大小；
（2）发射源位于N点时，粒子从发出到第二次离开电场所用的总时间．

Answer 1

分析 （1）粒子先在电场中加速，后进入磁场偏转，做匀速圆周运动．先画出粒子在磁场中的运动轨迹，由几何关系求解出粒子运动的轨迹半径，由牛顿第二定律求出粒子的速率，再由动能定理求解电场强度大小．
（2）第二次从N点出发的粒子刚好不能从AB边界离开磁场，其轨迹与AB相切，作出粒子的运动轨迹，由几何关系求解出粒子运动的轨迹半径，由牛顿第二定律求出粒子的速率，再由牛顿第二定律和运动学公式结合求出电场中运动时间．
粒子在磁场中匀速圆周运动的时间要根据轨迹对应的圆心角求出．
粒子第二次进入电场时做类平抛运动，将其运动分解成沿电场和垂直于电场两个方向，当粒子第二次离开电场时两个方向的分位移大小相等，据此列式求出电场中运动时间，从而可得到总时间．

解答 解：（1）据题意画出粒子在磁场中的运动轨迹，如图1所示．由几何关系得粒子运动的轨迹半径 r=$\sqrt{2}$d
在磁场中，由洛伦兹力提供向心力，则有
  qvB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$
联立解得 v=$\frac{\sqrt{2}qBd}{m}$
在电场中，由动能定理得：qE•$\sqrt{2}$d=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$
解得 E=$\frac{\sqrt{2}q{B}^{2}d}{2m}$
（2）第二次从N点出发的粒子刚好不能从AB边界离开磁场，其轨迹与AB相切，作出粒子的运动轨迹如图2所示，设粒子的轨迹半径为R．
由几何关系得：Rcos45°+R=d
得 R=（2-$\sqrt{2}$）d
由 qv′B=m$\frac{v{′}^{2}}{R}$得 v′=$\frac{（2-\sqrt{2}）qBd}{m}$
粒子在电场中的加速度 a=$\frac{qE}{m}$=$\frac{\sqrt{2}{q}^{2}{B}^{2}d}{2{m}^{2}}$
由 v′=at₁，得 t₁=$\frac{v′}{a}$=$\frac{（4-2\sqrt{2}）m}{qB}$；
粒子在磁场中运动的周期 T=$\frac{2πm}{qB}$，时间 t₂=$\frac{3}{4}•$T=$\frac{3πm}{2qB}$；
粒子第二进入电场时做类平抛运动，将其运动分解成沿电场和垂直于电场两个方向，当粒子第二次离开电场时两个方向的分位移大小相等，则得
  v′t₃=$\frac{1}{2}a{t}_{3}^{2}$
解得 t₃=$\frac{2v′}{a}$=$\frac{4（\sqrt{2}-1）m}{qB}$
故发射源位于N点时，粒子从发出到第二次离开电场所用的总时间 t=t₁+t₂+t₃=$\frac{[4（3\sqrt{2}-4）+3π]m}{2qB}$
答：（1）二三象限电场的电场强度的大小是$\frac{\sqrt{2}q{B}^{2}d}{2m}$；
（2）发射源位于N点时，粒子从发出到第二次离开电场所用的总时间为$\frac{[4（3\sqrt{2}-4）+3π]m}{2qB}$．

点评 本题考查了粒子在电场与磁场中的运动，分析清楚粒子运动过程是正确解题的前提与关键，应用类平抛运动规律、牛顿第二定律即可正确解题．