Question

6．半径为R的空心圆筒，内表面光滑，盛有两样光滑的、半径为r的、重量为G的球，试求球与圆筒壁的作用力大小．思考通过改变R与r关系能否使圆筒翻倒？

Answer 1

分析 由题，R＞r，分R≥2r和r＜R＜2r讨论小球的位置，画出受力图，然后求出球与圆筒壁的作用力大小．选择三个物体组成的整体为研究对象，结合受力分析看会不会翻到．

解答 解：若R≥2r，则两个球都在圆筒的底部，对圆筒壁没有作用力．
若r＜R＜2r，圆筒与球的位置过圆筒的轴心和两球的球心的截面图如图1，对上边的球进行受力分析如图2：

设两球的球心连线与水平方向之间的夹角为θ，由图1可知：$cosθ=\frac{2R-2r}{2r}$=$\frac{R-r}{r}$，所以：$sinθ=\sqrt{1-co{s}^{2}θ}$=$\frac{\sqrt{2Rr-{R}^{2}}}{r}$
由图2可知：$\frac{G}{{N}_{2}}=tanθ$=$\frac{sinθ}{cosθ}=\frac{\sqrt{2Rr-{R}^{2}}}{R-r}$
所以，球与圆筒壁的作用力大小为：$\frac{R-r}{\sqrt{2Rr-{R}^{2}}}•G$
然后以两个球组成的整体为研究对象，可以得出，下边的球与筒壁之间的作用力也是$\frac{R-r}{\sqrt{2Rr-{R}^{2}}}•G$
以圆筒与两个球组成的整体为研究对象，可知，系统只受到竖直方向的重力和支持力的作用，所以不可能翻到．
答：若R≥2r，则两个球都在圆筒的底部，对圆筒壁没有作用力．若r＜R＜2r，圆筒与球之间的作用力是$\frac{R-r}{\sqrt{2Rr-{R}^{2}}}•G$；无论它们的半径关系如何，圆筒不能翻到．

点评 该题考查共点力作用下物体的平衡问题，画出位置关系图，通过它们的位置关系确定几何关系是解答的关键．