题目内容
8．
黑洞是近代引力理论所预言的一种特殊天体，探寻黑洞的方案之一是观测双星系统的运动规律．天文学家观测河外星系大麦哲伦云时，发现了LMCX-3双星系统，它由可见星A和不可见的暗星B构成．两星视为质点，不考虑其它天体的影响，A、B围绕两者连线上的O点做匀速圆周运动，它们之间的距离保持不变，如图所示．引力常量为G，由观测能够得到可见星A的速率v和运行周期T．（1）可见星A所受暗星B的引力FA可等效为位于O点处质量为m′的星体（视为质点）对它的引力，设A和B的质量分别为m1、m2，试求m′（用m1、m2表示）；
（2）求暗星B的质量m2与可见星A的速率v、运行周期T和质量m1之间的关系式；
（3）恒星演化到末期，如果其质量大于太阳质量m2的2倍，它将有可能成为黑洞．若可见星A的速率v=2.7×105m/s，运行周期T=4.7π×104s，质量m1=6m2，试通过估算来判断暗星B有可能是黑洞吗？（G=6.67×10-11N•m2/kg2，ms=2.0×1030kg）
分析 （1）抓住A、B做圆周运动的向心力相等，角速度相等，求出A、B轨道半径的关系，从而得知A、B距离为A卫星的轨道半径关系，可见星A所受暗星B的引力FA可等效为位于O点处质量为m′的星体（视为质点）对它的引力，根据万有引力定律公式求出质量m′．
（2）根据万有引力提供向心力求出暗星B的质量m2与可见星A的速率v、运行周期T和质量m1之间的关系式；
（3）根据第（2）问的表达式求出暗星B的质量，与太阳的质量进行比较，判断是否是黑洞．
解答 解：（1）设A、B圆轨道的半径分别为r1、r2，由题意知，A、B的角速度相等，为ω0，
有：${F}_{A}={m}_{1}{r}_{1}{{ω}_{0}}^{2}$，${F}_{B}={m}_{2}{r}_{2}{{ω}_{0}}^{2}$，又FA=FB．
设A、B之间的距离为r，又r=r1+r2．
由以上各式得，$r=\frac{{m}_{1}+{m}_{2}}{{m}_{2}}{r}_{1}$ ①
由万有引力定律得，${F}_{A}=\frac{G{m}_{1}{m}_{2}}{{r}^{2}}$．
将①代入得，${F}_{A}=\frac{G{m}_{1}{{m}_{2}}^{3}}{{（{m}_{1}+{m}_{2}）^{2}{r}_{1}}^{2}}$
令${F}_{A}=\frac{G{m}_{1}m′}{{{r}_{1}}^{2}}$，比较可得m′=$\frac{{{m}_{2}}^{3}}{{{（{m}_{1}+{m}_{2}）}^{2}}^{\;}}$．②
（2）由牛顿第二定律有：$\frac{G{m}_{1}m′}{{{r}_{1}}^{2}}={m}_{1}\frac{{v}^{2}}{{r}_{1}}$，③
又可见星的轨道半径${r}_{1}=\frac{vT}{2π}$④
由②③④得，$\frac{{{m}_{2}}^{3}}{{{（{m}_{1}+{m}_{2}）}^{2}}^{\;}}=\frac{{v}^{3}T}{2πG}$．
（3）将m1=6ms代入$\frac{{{m}_{2}}^{3}}{{{（{m}_{1}+{m}_{2}）}^{2}}^{\;}}=\frac{{v}^{3}T}{2πG}$得，$\frac{{{m}_{2}}^{3}}{{{（{6m}_{S}+{m}_{2}）}^{2}}^{\;}}=\frac{{v}^{3}T}{2πG}$⑤
代入数据得，$\frac{{{m}_{2}}^{3}}{{{（{6m}_{S}+{m}_{2}）}^{2}}^{\;}}=3.5{m}_{s}$．⑥
设m2=nms，（n＞0）将其代入⑥式得，
$\frac{{{m}_{2}}^{3}}{{{（{m}_{1}+{m}_{2}）}^{2}}^{\;}}=\frac{n}{（\frac{6}{n}+1）^{2}}{m}_{s}=3.5{m}_{s}$．⑦
可见，$\frac{{{m}_{2}}^{3}}{{{（{6m}_{S}+{m}_{2}）}^{2}}^{\;}}$的值随n的增大而增大，令n=2时，得
$\frac{n}{{（\frac{6}{n}+1）}^{2}}{m}_{s}=0.125{m}_{s}＜3.5{m}_{s}$⑧
要使⑦式成立，则n必须大于2，即暗星B的质量m2必须大于2m1，由此得出结论，暗星B有可能是黑洞．
答：（1）m′=$\frac{{{m}_{2}}^{3}}{{{（{m}_{1}+{m}_{2}）}^{2}}^{\;}}$．
（2）暗星B的质量m2与可见星A的速率v、运行周期T和质量m1之间的关系式为$\frac{{{m}_{2}}^{3}}{{{（{m}_{1}+{m}_{2}）}^{2}}^{\;}}=\frac{{v}^{3}T}{2πG}$．
（3）暗星B有可能是黑洞．
点评 本题是双子星问题，关键抓住双子星所受的万有引力相等，转动的角速度相等，根据万有引力定律和牛顿第二定律综合求解．
新黄冈兵法密卷系列答案
如图所示的电路中，R1=1Ω，R2=6Ω，电源内阻r=1Ω，若开关闭合后，铭牌上标有“6V 12W”的电动机刚好正常工作，则（ ）| A． | 流过电动机的电流为6A | |
| B． | 电动机线圈电阻为3Ω | |
| C． | 电源电动势E=12V | |
| D． | 若电动机线圈电阻为0.5Ω，则电动机输出功率为7.5W |
| A． | 对于受迫振动，驱动力频率越大，受迫振动的振幅越大越大 | |
| B． | 一切波都能发生衍射，衍射是波特有的现象 | |
| C． | 波源与观察者互相靠近或者互相远离时，接收到的频率会发生变化 | |
| D． | 紫外线具有较高的能量，许多物质在紫外线的照射下会发出荧光 | |
| E． | 光速在任何条件下都是3×108/s |
| A． | 玻尔原子理论的基本假设认为，电子绕核运行轨道的半径是任意的 | |
| B． | 光电效应产生的条件为：光强大于临界值 | |
| C． | ${\;}_{92}^{235}$U+n→${\;}_{54}^{140}$Xe+${\;}_{38}^{94}$Sr+2n是裂变 | |
| D． | 发现少数α粒子发生了较大偏转，说明金原子质量大而且很坚硬 |
| A． | 密度之比 | B． | 第一宇宙速度之比 | ||
| C． | 表面重力加速度之比 | D． | 水星和金星绕太阳运动的周期之比 |
据《每日邮报》2015年4月27日报道，英国威尔士一只100岁的宠物龟“T夫人”（Mrs T）在冬眠的时候被老鼠咬掉了两只前腿．“T夫人”的主人为它装上了一对从飞机模型上拆下来的轮胎．现在它不仅又能走路，甚至还能“跑步”了，现在的速度比原来快一倍．如图2所示，设“T夫人”质量m=1.0kg在粗糙水平台阶上静止，它与水平台阶表面的阻力简化为与体重的k倍，k=0.25，且与台阶边缘O点的距离s=5m．在台阶右侧固定了一个$\frac{1}{4}$圆弧挡板，圆弧半径R=5$\sqrt{2}$m，今以O点为原点建立平面直角坐标系．“T夫人”通过后腿蹬地可提供F=5N的水平恒力，已知重力加速度g=10m/s2．| A． | 航天器的轨道半径为$\frac{θ}{s}$ | B． | 航天器的环绕周期为$\frac{2πt}{θ}$ | ||
| C． | 月球的质量为$\frac{s^2}{{G{t^2}θ}}$ | D． | 月球的密度为$\frac{3{θ}^{2}}{4G{t}^{2}}$ |
在某次实验中 得到小车做直线运动的s-t关系如图所示，由图可以确定，小车在AC段和DE段的运动分别为（ ）| A． | AC段是匀加速运动；DE段是匀速运动 | |
| B． | AC段是加速运动；DE段是匀加速运动 | |
| C． | AC段是加速运动；DE段是匀速运动 | |
| D． | AC段是匀加速运动；DE段是匀加速运动 |
如图所示，质量为m的小球用水平轻质弹簧系住，并用倾角=37°的木板托住，小球处于静止状态，弹簧处于压缩状态，则（ ）| A． | 小球一定受四个力的作用 | |
| B． | 弹簧弹力可能为$\frac{3}{4}$mg | |
| C． | 小球受木板的摩擦力一定沿斜面向下 | |
| D． | 木板对小球的作用力的方向一定垂直于木板向上 |