Question

4．已知圆C：（x-1）²+（y-2）²=25，直线l：（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0（m∈R）
（Ⅰ）证明：无论m取什么实数，l与圆恒交于两点；
（Ⅱ）求直线被圆C截得的弦长最小时l的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求得所给的直线经过x+y-4=0 和2x+y-7=0的交点M（3，1），而点M在圆C：（x-1）²+（y-2）²=25的内部，从而得到l与圆恒交于两点．
（Ⅱ）弦长最小时，MC和弦垂直，再利用点斜式求得弦所在的直线的方程．

解答 解：（Ⅰ）证明：直线l：（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0，即 x+y-4+m（2x+y-7）=0，
恒经过直线x+y-4=0 和2x+y-7=0的交点M（3，1），
而点M到圆心C（1，2）的距离为MC=$\sqrt{{（3-1）}^{2}{+（1-2）}^{2}}$=$\sqrt{5}$＜半径5，
故点M在圆C：（x-1）²+（y-2）²=25的内部，故l与圆恒交于两点．
（Ⅱ）弦长最小时，MC和弦垂直，故弦所在的直线l的斜率为$\frac{-1}{{K}_{MC}}$=$\frac{-1}{\frac{1-2}{3-1}}$=2，
故直线l的方程为y-1=2（x-3），即 2x-y-5=0．

点评 本题主要考查直线经过定点问题，直线和圆相交的性质，属于基础题．