Question

在三棱锥P-ABC中，已知平面PBC⊥平面ABC，AB是底面△ABC最长的边．三棱锥P-ABC的三视图如图1所示，其中侧视图和俯视图均为直角三角形．
（1）请在图2中，用斜二测画法，把三棱锥P-ABC的直观图补充完整（其中点P在xOz平面内），并指出三棱锥P-ABC的哪些面是直角三角形；
（2）求二面角B-PA-C的正切值；
（3）求点C到面PAB的距离．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）由已知条件能用出三棱锥P-ABC直观图，由三视图知△ABC和△PCA是直角三角形．
（2）过P作PH⊥BC交BC于点H，由三视图知△PBC为等腰三角形，取PC的中点E，过E作EF⊥PA且交PA于点F，连接BE，BF，∠BFE是二面角B-PA-C的平面角，由此能求出二面角B-PA-C的正切值．
（3）记C到面PAB的距离为h，由V_P-ABC=V_C-PAB，能求出C到面PAB的距离．

解答： 解：（1）三棱锥P-ABC直观图如图1所示；
由三视图知△ABC和△PCA是直角三角形．…（3分）
（2）如图2，过P作PH⊥BC交BC于点H，
由三视图知△PBC为等腰三角形，
∵BC=4，PH=2

3

，∴PB=PC=BC=4，
取PC的中点E，过E作EF⊥PA且交PA
于点F，连接BE，BF，
因为BE⊥PC，由三视图知AC⊥面PBC，
且BE?面PBC，∴AC⊥BE，
又由AC∩PC=C，∴BE⊥面PAC，
由PA?面PAC，∴BE⊥PA，BE∩EF=E，∴PA⊥面BEF，
由BF?面BEF，∴PA⊥BF，
所以∠BFE是二面角B-PA-C的平面角．…（6分）
∵△PEF∽△PAC，∴

PE

PA

=

EF

AC

，
∵PE=2， AC=4， PA=4

2

，∴EF=

2

，…（8分），∴在直角△CFE中，有tan∠BFE=

BE

EF

=

6

．
所以，二面角B-PA-C的正切值为

6

． …（9分）
（3）记C到面PAB的距离为h，
由（1）、（2）知PA=AB=4

2

，  PB=4，∴S△PAB=4

7

，
PB=4，V_C-PAB=

1

3

S△PAB•h=

4 7

3

，…（12分）
三棱锥P-ABC的体积VP-ABC=

1

3

S△ABC•PH=

16 3

3

，…（13分）
由V_P-ABC=V_C-PAB，得C到面PAB的距离h=

4 21

7

．  …（14分）

点评：本题主要考察空间点、线、面位置关系，三视图及几何体的直观图，二面角，三棱锥的体积，空间坐标系等基础知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，考查用向量方法解决数学问题的能力．