Question

(本小题满分16分)设数列{a_n}满足：a₁＝1，a₂＝2，a_n＋2＝(n≥1，n∈N^*)．

(1) 求证：数列是常数列；

(2) 求证：当n≥2时，2＜a－a≤3；

(3) 求a_{2 011}的整数部分.

Answer 1

(1) 易知，对一切n≥1，a_n≠0，由a_n＋2＝，得＝.

依次利用上述关系式，可得

＝＝＝…＝＝＝1，

从而数列是常数列．(4分)

(2) 由(1)得a_n＋1＝a_n＋.

又a₁＝1，∴可知数列{a_n}递增，则对一切n≥1，有a_n≥1成立，从而0＜≤1.(6分)

当n≥2时，a＝²＝a＋＋2，

于是a－a＝＋2，

∴2＜a－a≤3.(8分)

(3) 当n≥2时，a＝a＋＋2，

∴a＝＋…＋＋a＋2(n－1)．

a＝1，a＝4，则当n≥3时，

a＝＋…＋＋a＋2(n－1)

＝＋…＋＋1＋1＋2(n－1)

＝＋…＋＋2n＞2n.

a＝＋…＋＋2(2 011－1)＋1＞4 021

＞3 969＝63²，(10分)

a＝＋…＋＋2(2 011－1)＋1

＝4 021＋＋…＋

＜4 020＋＋＋＋…＋

＝4 022＋

＝4 022＋

]

＜4 022＋

]

＝4 022＋

＜4 022＋(19＋4＋10)＜4 039＜4 096＝64².(14分)

∴63＜a_{2 011}＜64，即a_{2 011}的整数部分为63.(16分)