题目内容

设函数f（x）= $数学公式$
（Ⅰ）若f（x）在x=1，x= $数学公式$ 处取得极值，
（i）求a、b的值；
（ii）在 $数学公式$ 存在x₀，使得不等式f（x_o）-c≤0成立，求c最小值
（Ⅱ）当b=a时，若f（x）在（0，+∞）上是单调函数，求a的取值范围．
（参考数据e²≈7.389，e³≈20.08）

解：（I）（1）∵ $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ ．（1分）
∵f（x）在x=1，x= $\text{[math]}$ 处取得极值，∴ $\text{[math]}$ （2分）
即 $\text{[math]}$ 解得 $\text{[math]}$
∴所求a、b的值分别为- $\text{[math]}$ （4分）

（ii）在 $\text{[math]}$ 存在x_o，使得不等式f（xo）-c≤0成立，只需c≥[f（x）]min，
由 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ 时，f'（x）＜0，故f（x）在 $\text{[math]}$ 是单调递减；
当 $\text{[math]}$ 时，f'（x）＞0，故f（x）在 $\text{[math]}$ 是单调递增；
当x∈[1，2]时，f'（x）＜0，故f（x）在[1，2]是单调递减；
∴ $\text{[math]}$ 是f（x）在 $\text{[math]}$ 上的极小值．（6分）
$\text{[math]}$ ，
且 $\text{[math]}$ ，
又e³-16＞0，∴ $\text{[math]}$ ，
∴[f（x）]min=f（2），∴ $\text{[math]}$ ，∴c的取值范围为 $\text{[math]}$ ，
所以c的最小值为- $\text{[math]}$ ．（9分）

（Ⅱ）当a=b时，f'（x）= $\text{[math]}$ ，
①当a=0时，f（x）=1nx．则f（x）在（0，+∞）上单调递增；
②当a＞0时，∵x＞0，∴2ax2+x+a＞0，∴f'（x）＞0，则f（x）在（0，+∞）上单调递增；
③当a＜0时，设g（x）=2ax2+x+a，只需△≤0，从面得 $\text{[math]}$ ，此时f（x）在（0+∞）上单调递减；
综上得，a的取值范围是 $\text{[math]}$ ．（14分）
分析：（I）（i）先对函数进行求导，根据函数在 $\text{[math]}$ 取得极值，则 $\text{[math]}$ ，代入可求a，b的值．
（ii）转化为c≥f（x）_min，从而求函数f（x）在区间 $\text{[math]}$ 上的最小值，从而求c的值
（II）当a=b时，f（x）= $\text{[math]}$
①a=0符合条件
②a≠0时，分a＞0，a＜0讨论f′（x）在（0，+∞）上的正负，以确定函数的单调性的条件，进而求出a的取值范围
点评：本题（I）（i）考查了函数取得极值的性质：若函数在x₀处取得极值?则f（x₀）=0，但f′（x₀）=0，x₀不一定是函数的极值点，即某点的导数为0是该点为极值的必要不充分条件．
（ii）注意是“存在” $\text{[math]}$ ，使得c≥f（x₀）成立?c≥f（x₀）_min；
若是“任意” $\text{[math]}$ 使得c≥f（x）恒成立?c≥f（x）_max，要区别两种不同的情况．
（II）结合极值考查函数的单调性，需要注意分类讨论的思想在解题中的应用．