Question

16．在正三角形ABC中，E，F，P分别是AB，AC，BC边上的点满足AE：EB=CF：FA=CP：PB=1：2（如图1），将△AEF折起到△A₁EF的位置上，连接A₁B，A₁C（如图2）
（Ⅰ）求证：FP∥面A₁EB；
（Ⅱ）求证：EF⊥A₁B．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由AE：EB=CF：FA=CP：PB=1：2，得FP∥BE，由此能证明FP∥平面A₁EB．
（Ⅱ）设正三角形ABC的边长为3，则AE=1，AF=2，由余弦定理得EF=$\sqrt{3}$，由勾股定理得EF⊥AB，又EF⊥A₁E，EF⊥BE，由此能证明EF⊥A₁B．

解答 证明：（Ⅰ）∵正三角形ABC中，E，F，P分别是AB，AC，BC边上的点满足AE：EB=CF：FA=CP：PB=1：2，
∴FP∥BE，
又BE?平面A₁EB₁，FD?平面A₁EB，
∴FP∥平面A₁EB．
（Ⅱ）设正三角形ABC的边长为3，则AE=1，AF=2，
∵∠EAF=60°，∴EF²=AE²+AF²-2AE•AFcos∠EAF=1+4-2×1×2×cos60°=3，
∴EF=$\sqrt{3}$，
在△ABF中，AF²=AE²+EF²，∴EF⊥AE，∴EF⊥AB，
则在图2中，有EF⊥A₁E，EF⊥BE，
∴EF⊥面A₁EB，
又∵A₁B?面A₁EB₁，∴EF⊥A₁B．

点评 本题考查线面平行、线线垂直的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．