Question

4．已知函数$f（x）=\left\{{\begin{array}{l}{9，x≥3}\\{-{x^2}+6x，x＜3}\end{array}}\right.$，则不等式f（x²-2x）＜f（3x-4）的解集是（1，3）．

Answer 1

分析 判断f（x）在R上递增，由f（x²-2x）＜f（3x-4），可得$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-2x＜3x-4}\\{3x-4≤3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-2x＜3}\\{3x-4＞3}\end{array}\right.$，解不等式即可得到所求解集．

解答 解：当x＜3时，f（x）=-x²+6x=-（x-3）²+9，
即有f（x）递增；
故f（x）在R上单调递增．
由f（x²-2x）＜f（3x-4），可得
$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-2x＜3x-4}\\{3x-4≤3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-2x＜3}\\{3x-4＞3}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{1＜x＜4}\\{x≤\frac{7}{3}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{-1＜x＜3}\\{x＞\frac{7}{3}}\end{array}\right.$，
即为1＜x≤$\frac{7}{3}$或$\frac{7}{3}$＜x＜3，
即1＜x＜3．即有解集为（1，3）．
故答案为：（1，3）．

点评 本题考查分段函数的运用：解不等式，注意判断函数的单调性和运用，考查转化思想和二次不等式的解法，属于中档题和易错题．