Question

2．数列{a_n}的前n项和为S_n，且${S_n}={2^n}-1$，数列{b_n}满足b₁=2，b_n+1=b_n+a_n．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{b_n}的前n项和为T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通过${S_n}={2^n}-1$与S_n-1=2^n-1-1作差可知a_n=2^n-1（n≥2），进而可知a_n=2^n-1；通过b₁=2、b_n+1=b_n+a_n，利用累加法计算可知b_n=1+2^n-1；
（Ⅱ）通过（I），利用分组求和法计算即得结论．

解答 解：（Ⅰ）∵${S_n}={2^n}-1$，
∴当n≥2时，S_n-1=2^n-1-1，
两式相减得：a_n=2^n-1（n≥2），
又∵a₁=2-1=1满足上式，
∴a_n=2^n-1；
∵b₁=2，b_n+1=b_n+a_n，
∴当n≥2时，b_n=（b_n-b_n-1）+（b_n-1-b_n-2）+…+（b₂-b₁）+b₁
=a_n-1+a_n-2+…+a₁+b₁
=$\frac{1-{2}^{n-1}}{1-2}$+2
=1+2^n-1，
又∵b₁=2满足上式，
∴b_n=1+2^n-1；
（Ⅱ）由（I）可知T_n=（1+1+…+1）+（1+2+2²+…+2^n-1）
=n+$\frac{1-{2}^{n}}{1-2}$
=n-1+2ⁿ．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查分组求和法，注意解题方法的积累，属于中档题．