Question

7．如图所示，∠BAC=$\frac{2π}{3}$，圆M与AB，AC分别相切于点D，E，AD=1，点P是圆M及其内部任意一点，且$\overrightarrow{AP}$=x$\overrightarrow{AD}$+y$\overrightarrow{AE}$（x，y∈R），则x+y的取值范围是[4-2$\sqrt{3}$，4+2$\sqrt{3}$]．

Answer 1

分析 连接MA，MD，求出圆M的半径MD和MA，得出AP的最值，根据等边三角形的性质即可得出x+y的最值．

解答 解：连接MA，MD，则∠MAD=$\frac{π}{3}$，MD⊥AD，
∵AD=1，∴MD=$\sqrt{3}$，MA=2，
∵点P是圆M及其内部任意一点，
∴2-$\sqrt{3}$≤AP≤2+$\sqrt{3}$，且当A，P，M三点共线时，x+y取得最值，
当AP取得最大值时，以AP为对角线，
以AB，AC为邻边方向作平行四边形AA₁PB₁，
则△APB₁和△APA₁是等边三角形，
∴AB₁=AA₁=AP=2+$\sqrt{3}$，
∴x=y=2+$\sqrt{3}$，
∴x+y的最大值为4+2$\sqrt{3}$，
同理可求出x+y的最小值为4-2$\sqrt{3}$．
故答案为：[4-2$\sqrt{3}$，4+2$\sqrt{3}$]．

点评 本题考查了平面向量的几何运算，属于中档题．