Question

5．在平面直角坐标系xOy中，已知四点A（12，0），B（-4，0），C（0，-3），D（-3，-4），把坐标系平面沿y轴折为直二面角．

（Ⅰ）求证：BC⊥AD；
（Ⅱ）求平面ADO和平面ADC的夹角的余弦值；
（Ⅲ）求三棱锥C-AOD的体积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出BC，和AD的斜率，证明k_OD•k_BC=-1，即可证明BC⊥AD；
（Ⅱ）建立空间坐标系，求出平面的法向量，利用向量法即可求平面ADO和平面ADC的夹角的余弦值；
（Ⅲ）利用体积转化法结合三棱锥的体积公式进行求解即可．

解答 解：（Ⅰ）证明：∵B（-4，0），C（0，-3），D（-3，-4），
∴k_OD•k_BC=•$\frac{-4}{-3}×\frac{-3}{0-（-4）}$=$\frac{4}{3}•（-\frac{3}{4}）$=-1，
即OD⊥BC，
当把坐标系平面沿y轴折为直二面角后，OA⊥平面BOC，
∴OA⊥BC，
∵OA∩OD=O，
∴BC⊥平面AOD，
∵AD?平面AOD，
∴BC⊥AD；
（Ⅱ）建立以O为坐标原点，OA，Oy，OB分别为x，y，z轴的空间直角坐标系如图：
则A（12，0，0），B（0，0，4），C（0，-3，0），D（0，-4，3），
则由（1）知平面ADO的一个法向量为$\overrightarrow{BC}$=（0，-3，-4），
设平面ACD的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\overrightarrow{AC}$=（-12，-3，0）
$\overrightarrow{AD}$=（-12，-4，3），$\overrightarrow{CD}$=（0，-1，3），
则$\overrightarrow{n}$•$\overrightarrow{AC}$=-12x-3y=0，$\overrightarrow{n}$•$\overrightarrow{CD}$=-y+3z=0，
令y=12，则x=-3，z=4，即$\overrightarrow{n}$=（-3，12，4），
则cos＜$\overrightarrow{n}$，$\overrightarrow{BC}$＞=$\frac{\overrightarrow{BC}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{BC}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{-3×12-4×4}{\sqrt{（-3）^{2}+（-4）^{2}}•\sqrt{（-3）^{2}+{4}^{2}+1{2}^{2}}}$=$\frac{-52}{5×13}=-$$\frac{4}{5}$，
∵平面ADO和平面ADC的夹角是锐角，
∴平面ADO和平面ADC的夹角的余弦值是$\frac{4}{5}$；
（Ⅲ）V_C-AOD=V_A-COD=$\frac{1}{3}$×OA•S_△OCD=$\frac{1}{3}×$$\frac{1}{2}$×3×3×12=18．

点评 本题考查了空间中的垂直关系以及二面角的求解，建立空间坐标系，求出平面的法向量，利用向量法是解决本题的关键．求三棱锥的体积是关键是求底面积和高，对不规则的三棱锥要考虑使用体积转化法进行求解．