题目内容

如图，四棱锥P-ABCD的底面是正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，PA=AB，点M在侧棱PC上，且CM=2MP，
(1)求直线AM与平面ABCD所成角的正切值；
(2)求二面角A-PC-D的余弦值．

解：设，
(1)如图，过M作MN⊥AC于N，则MN∥PA，
∵PA⊥平面ABCD，
∴MN⊥平面ABCD，
则∠MAN为直线AM与平面ABCD所成的角，
∵CM=2MP，CN=2NA，
易知，∴，
又，
∴，
在Rt△AMN中，求得，
所以，直线AM与平面ABCD所成角的正切值为2．
(2)过A作AE⊥PD于E，
∵PA⊥平面ABCD，CD平面ABCD，
∴PA⊥CD，
∵CD⊥AD，∴CD⊥平面PAD，
∵AE平面PAD，
∴CD⊥AE，∴AE⊥平面PCD，
过A作AF⊥PC于F，连接EF，则∠AFE为二面角A-PC-D的平面角，
易求得，
在Rt△AEF中，求得，
∴，
所以，所求二面角的余弦值为。
练习册系列答案
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如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，
E是PC的中点．求证：
（Ⅰ）CD⊥AE；
（Ⅱ）PD⊥平面ABE．
如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠DAB=60°，AB=AD=2CD=2，侧面PAD⊥底面ABCD，且△PAD为等腰直角三角形，∠APD=90°，M为AP的中点．
（1）求证：AD⊥PB；
（2）求三棱锥P-MBD的体积．
如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是矩形，AB=2，BC=
2
，且侧面PAB是正三角形，平面PAB⊥平面ABCD．
（1）求证：PD⊥AC；
（2）在棱PA上是否存在一点E，使得二面角E-BD-A的大小为45°，若存在，试求
AE
AP
的值，若不存在，请说明理由．
如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥底面ABCD，且PA=AB=1，AD=
3
，点F是PB中点．
（Ⅰ）若E为BC中点，证明：EF∥平面PAC；
（Ⅱ）若E是BC边上任一点，证明：PE⊥AF；
（Ⅲ）若BE=
3
3
，求直线PA与平面PDE所成角的正弦值．
如图，四棱锥P-ABCD，PA⊥平面ABCD，ABCD是直角梯形，DA⊥AB，CB⊥AB，PA=2AD=BC=2，AB=2
2
，设PC与AD的夹角为θ．
（1）求点A到平面PBD的距离；
（2）求θ的大小；当平面ABCD内有一个动点Q始终满足PQ与AD的夹角为θ，求动点Q的轨迹方程．