题目内容
4．已知a1，a2，a3，…，ak是有限项等差数列，且a4+a7+a10=17，a4+a5+a6+a7+a8+a9+a10+a11+a12+a13+a14=77，若ak=13，则k的值是18．分析 由已知条件利用等差数列通项公式列出方程组，求出首项和公差，从而求出等差数列通项公式，由此能求出k的值．
解答 解：∵a1，a2，a3，…，ak是有限项等差数列，
∴an=a1+（n-1）d，
∵a4+a7+a10=17，
a4+a5+a6+a7+a8+a9+a10+a11+a12+a13+a14=77，
∴$\left\{\begin{array}{l}{3{a}_{1}+18d=17}\\{11{a}_{1}+88d=77}\end{array}\right.$，解得${a}_{1}=\frac{5}{3}，d=\frac{2}{3}$，
∴${a}_{n}=\frac{5}{3}+（n-1）×\frac{2}{3}$=$\frac{2}{3}n+1$，
∵ak=13，∴$\frac{2}{3}k+1$=13，解得k=18．
故答案为：18．
点评 本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．
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