Question

8．某种产品的质量以其质量指标衡量，并依据质量指标值划分等级如表：

质量指标值m	m＜185	185≤m＜205	M≥205
等级	三等品	二等品	一等品

从某企业生产的这种产品中抽取200件，检测后得到如下的频率分布直方图：
（1）根据以上抽样调查的数据，能否认为该企业生产这种产品符合“一、二等品至少要占到全部产品的92%的规定”？
（2）在样本中，按产品等级用分层抽样的方法抽取8件，再从这8件产品中随机抽取4件，求抽取的4件产品中，一、二、三等品都有的概率；
（3）该企业为提高产品的质量，开展了“质量提升月”活动，活动后再抽样检测，产品质量指标值X近似满足X～N（218，140），则“质量提升月”活动后的质量指标值的均值比活动前大约提升了多少？

Answer 1

分析 （1）根据抽样调查数据计算一、二等品所占比例的估计值，
判断该企业生产的这种产品是否符合“一、二等品至少要占到全部产品的92%的规定”；
（2）由频率分布直方图知一、二、三等品的频率值，
计算样本中一等品、二等品、三等品的件数，
求出从这8件产品中随机抽取4件，一、二、三等品都有的情形，计算所求的概率值；
（3）计算“质量提升月”活动前、后产品质量指标值的均值，比较得出结论．

解答 解：（1）根据抽样调查数据，一、二等品所占比例的估计值为
0.200+0.300+0.260+0.090+0.025=0.875，
由于该估计值小于0.92，故不能认为该企业生产的这种产品
符合“一、二等品至少要占到全部产品的92%的规定”；
（2）由频率分布直方图知，一、二、三等品的频率分别为0.375、0.5和0.125，
故在样本中，一等品3件，二等品4件，三等品1件；
再从这8件产品中随机抽取4件，一、二、三等品都有的情形有2种，
①一等品2件，二等品1件，三等品1件；
②一等品1件，二等品2件，三等品1件，
故所求的概率为P=$\frac{{C}_{3}^{2}{•C}_{4}^{1}{•C}_{1}^{1}{+C}_{3}^{1}{•C}_{4}^{2}{•C}_{1}^{1}}{{C}_{8}^{4}}$=$\frac{3}{7}$；
（3）“质量提升月”活动前，该企业这种产品的质量指标值的均值约为
170×0.025+180×0.1+190×0.2+200×0.3+210×0.26+220×0.09+230×0.025=200.4；
“质量提升月”活动后，产品质量指标值X近似满足X～N（218，140），
则数学期望E（X）=218；
所以“质量提升月”活动后的质量指标值的均值比活动前大约提升了
218-200.4=17.6．

点评 本题考查了频率分布直方图与古典概型的概率计算问题，是基础题．