Question

15．设平面向量$\overrightarrow a=\overrightarrow{OA}$，定义以x轴非负半轴为始边，逆时针方向为正方向，OA为终边的角称为向量$\overrightarrow a$的幅角．若r₁是向量$\overrightarrow a$的模，r₂是向量$\overrightarrow b$的模，$\overrightarrow a$的幅角是θ₁，$\overrightarrow b$的幅角是θ₂，定义$\overrightarrow a?\overrightarrow b$的结果仍是向量，它的模为r₁r₂，它的幅角为θ₁+θ₂．给出$\overrightarrow a=（\sqrt{3}，1），\overrightarrow b=（1，1）$．试用$\overrightarrow a$、$\overrightarrow b$的坐标表示$\overrightarrow a?\overrightarrow b$的坐标，结果为$\overrightarrow a?\overrightarrow b$=（$\sqrt{3}$-1，$\sqrt{3}$+1）．

Answer 1

分析 根据题意，写出向量$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{b}$的坐标表示，再计算$\overrightarrow a?\overrightarrow b$模与幅角的值，即可得出$\overrightarrow a?\overrightarrow b$的值．

解答 解：根据题意，$\overrightarrow a=2（cos\frac{π}{6}，sin\frac{π}{6}），\overrightarrow b=\sqrt{2}（cos\frac{π}{4}，sin\frac{π}{4}）$，
所以$\overrightarrow a?\overrightarrow b$的模是$2\sqrt{2}$，幅角为$\frac{π}{6}$+$\frac{π}{4}$=$\frac{5π}{12}$，
且cos$\frac{5π}{12}$=$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$，sin$\frac{5π}{12}$=$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$，
所以$\overrightarrow a?\overrightarrow b=（\sqrt{3}-1，\sqrt{3}+1）$．
故答案为：$\overrightarrow a?\overrightarrow b$=（$\sqrt{3}$-1，$\sqrt{3}$+1）．

点评 本题考查了平面向量的坐标表示与运算问题，也考查了新定义的应用问题，是基础题目．