Question

20．若f（x）=x²-2x+3，g（x）=log₂x+m，?x₁，x₂∈[1，4]，有f（x₁）≥g（x₂）成立，则实数m的取值范围是（-∞，0]．

Answer 1

分析 利用二次函数与对数函数的单调性可求得当x₁，x₂∈[1，4]时，f（x₁）_min=2，g（x₂）_max=2+m，依题意，f（x₁）_min≥g（x₂）_max，解之即可求得实数m的取值范围．

解答 解：∵f（x）=x²-2x+3的开口方向向上，对称轴方程为：x=1，
∴当x₁∈[1，4]时，f（x₁）_min=f（1）=2；
又g（x）=log₂x+m为增函数，
∴当x₂∈[1，4]时，g（x₂）_max=log₂4+m=2+m，
∵?x₁，x₂∈[1，4]，有f（x₁）≥g（x₂）成立，
∴f（x₁）_min≥g（x₂）_max，即2≥2+m，
解得：m≤0．
故答案为：（-∞，0]．

点评 本题考查函数恒成立问题，考查二次函数与对数函数的单调性与闭区间上的最值的求法，分析得到f（x₁）_min≥g（x₂）_max是关键，考查推理与运算能力，属于中档题．