题目内容

各项均为正数的数列{a_n}满足对一切正整数n，都有a_n+2²=a_na_n+4，若a₃=2，a₇=4，则a₁₅=

A.
8
B.
16
C.
32
D.
64

B
分析：各项均为正数的数列{a_n}中，由a_n+2²=a_na_n+4，得到 $\text{[math]}$ ，由利用a₃=2，a₇=4，先求出 $\text{[math]}$ ．再由 $\text{[math]}$ 和a₇=4，求出 $\text{[math]}$ ．以此类推，由递推思想能够求出a₁₅=16．
解答：各项均为正数的数列{a_n}中，
∵a_n+2²=a_na_n+4，
∴ $\text{[math]}$ ，
∵a₃=2，a₇=4，
∴ $\text{[math]}$ ，
解得a₅²=8，即 $\text{[math]}$ ．
∵ $\text{[math]}$ ，
∴2 $\text{[math]}$ a₉=16，
解得 $\text{[math]}$ ．
∵ $\text{[math]}$ ，
∴4a₁₁=32，
解得a₁₁=8．
∵ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ，
解得 $\text{[math]}$ ，
∵ $\text{[math]}$ ，
∴8a₁₅=128，
解得a₁₅=16．
故选B．
点评：本题考查数列的递推公式的应用，是基础题．解题时要认真审题，注意递推思想的灵活运用．

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