Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面PAD是正三角形，且平面PAD⊥底面ABCD
（1）求证：AB⊥平面PAD；
（2）求直线PC与底面ABCD所成角的大小；
（3）设AB=1，求点D到平面PBC的距离．

Answer 1

分析：（1）根据平面PAD⊥底面ABCD以及AB⊥AD即可证得AB⊥平面PAD；
（2）先取AD的中点为O，得PO⊥AD；再结合平面PAD⊥底面ABCD，可得PO⊥底面ABCD连接CO，∠PCO为直线PC与底面ABCD所成的角，然后在Rt△PCO中求出∠PCO即可．
（3）先取BC中点为E，连接OE，先根据条件把点D到平面PBC的距离转化为AD这一条线上任意一点到平面PBC的距离；再结合平面POE⊥平面PBC，作OF⊥PE于F，求出OF的长即为点D到平面PBC的距离．

解答：解：（1）平面PAD⊥底面ABCD
又AB⊥AD由面面垂直的性质定理得，
AB⊥平面PAD----------------------------------（4分）
（2）取AD的中点为O，则PO⊥AD 
又平面PAD⊥底面ABCD，
则PO⊥底面ABCD连接CO，∠PCO为直线PC与底面ABCD所成的角，
在Rt△PCO中，CO=

1+( 1 2 )2

=

5

2

，PO=

3

2

．
tan∠PCO=

PO

CO

=

15

5

，
∠PCO=arctan

15

5

．------------------------------（8分）
（3）取BC中点为E，连接OE，
因为PO⊥AD，AD⊥OE
∴AD⊥平面POE，
因为BC∥AD
所以，AD∥平面PBC，故点D到平面PBC的距离等于AD这一条线上任意一点到平面PBC的距离
∴BC⊥平面POE
所以：平面POE⊥平面PBC，
在Rt△POE中，作OF⊥PE于F，则OF⊥平面PBC
则OF的长即为点D到平面PBC的距离．
在RT△POE，PO=

3

2

，OE=1，PE=

PO2+OE2

=

7

2

．
∴

1

2

•PO•OE=

1

2

•PE•OF⇒OF=

1× 3 2

12+( 3 2 )2

=

21

7

．
∴点D到平面PBC的距离为

21

7

---------------------------------------------（12分）

点评：本小题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系，考查点到面的距离，考查空间想象能力、推理论证能力和运算能力．