Question

6．已知正项数列{a_n}的前n项和为S_n，数列{a_n}满足，2S_n=a_n（a_n+1）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设数列{$\frac{1}{{{{（{a_n}+2）}^2}}}$}的前n项和为A_n，求证：对任意正整数n，都有A_n＜$\frac{1}{2}$成立；
（3）数列{b_n}满足b_n=（$\frac{1}{2}$）ⁿa_n，它的前n项和为T_n，若存在正整数n，使得不等式（-2）^n-1λ＜T_n+$\frac{n}{2^n}$-2^n-1成立，求实数λ的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据数列的递推公式即可求出数列{a_n}的通项公式，
（2）$\frac{1}{{{{（{a_n}+2）}^2}}}$=$\frac{1}{（n+2）^{2}}$＜$\frac{1}{（n+1）（n+2）}$=$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$，利用放缩法即可证明，
（3）先利用错位相减法求出数列{b_n}的前n项和为T_n，不等式（-2）^n-1λ＜T_n+$\frac{n}{2^n}$-2^n-1成立，转化为${（-2）^{n-1}}λ＜2-\frac{2}{2^n}-{2^{n-1}}$成立，分n为偶数和奇数，根据函数的性质即可求出实数λ的取值范围

解答 解：（1）$2{S_n}={a_n}^2+{a_n}$，当n≥2时，$2{S_{n-1}}={a_{n-1}}^2+{a_{n-1}}$，
两式相减得：$2{a_n}={a_n}^2-{a_{n-1}}^2+{a_n}-{a_{n-1}}$，所以（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-1）=0．
因为数列{a_n}为正项数列，故a_n+a_n-1≠0，也即a_n-a_n-1=1，
所以数列{a_n}为以1为首项1为公差的等差数列，故通项公式为a_n=n，n∈N^*．
（2）${A_n}={a_1}+{a_2}+{a_3}+{a_4}+…+{a_n}=\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+\frac{1}{5^2}+\frac{1}{6^2}+…+\frac{1}{{{{（n+2）}^2}}}$$＜（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）+（\frac{1}{3}-\frac{1}{4}）+（\frac{1}{4}-\frac{1}{5}）+（\frac{1}{5}-\frac{1}{6}）+…+（\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}）$=$\frac{1}{2}-\frac{1}{n+2}＜\frac{1}{2}$，
所以对任意正整数n，都有${A_n}＜\frac{1}{2}$成立．
（3）易知${b_n}=\frac{n}{2^n}$，则${T_n}=1×\frac{1}{2}+2×\frac{1}{2^2}+3×\frac{1}{2^3}+…+（n-1）×\frac{1}{{{2^{n-1}}}}+n×\frac{1}{2^n}$，①，
$\frac{1}{2}{T_n}=1×\frac{1}{2^2}+2×\frac{1}{2^3}+…+（n-2）×\frac{1}{{{2^{n-1}}}}+（n-1）×\frac{1}{2^n}+n×\frac{1}{{{2^{n+1}}}}$，②
①-②可得：$\frac{1}{2}{T_n}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+…+\frac{1}{2^n}-n×\frac{1}{{{2^{n+1}}}}=1-\frac{n+2}{{{2^{n+1}}}}$．
故${T_n}=2-\frac{n+2}{2^n}$，所以不等式${（-2）^{n-1}}λ＜2-\frac{2}{2^n}-{2^{n-1}}$成立，
若n为偶数，则$-{2^{n-1}}λ＜2-\frac{2}{2^n}-{2^{n-1}}$，所以$λ＞-2×\frac{1}{{{2^{n-1}}}}+{（\frac{1}{{{2^{n-1}}}}）^2}+1$．
设$t=\frac{1}{{{2^{n-1}}}}∈（0，\frac{1}{2}]$，则y=-2t+t²+1=（t-1）²在$（0，\frac{1}{2}]$单调递减，
故当$t=\frac{1}{2}$时，${y_{min}}=\frac{1}{4}$，所以$λ＞\frac{1}{4}$；
若n为奇数，则${2^{n-1}}λ＜2-\frac{2}{2^n}-{2^{n-1}}$，所以$λ＜2×\frac{1}{{{2^{n-1}}}}-{（\frac{1}{{{2^{n-1}}}}）^2}-1$．
设$t=\frac{1}{{{2^{n-1}}}}∈（0，1]$，则y=2t-t²-1=-（t-1）²在（0，1]单调递增，
故当t=1时，y_max=0，所以λ＜0．
综上所述，λ的取值范围λ＜0或$λ＞\frac{1}{4}$．

点评 本题考查了数列的递推公式，放缩法和裂项求和，以及错位相减法求和，分类讨论的思想，函数的思想，属于难题．