Question

对于任意的t∈[1，2]，函数f(x)=x3+(2+

m

2

)x2-2x在区间（t，3）上总存在极值，求m的范围（　　）

A．- 37 3 ＜m＜-5

B．- 37 3 ＜m＜-9

C．-9＜m＜-5

D．-9＜m＜0

Answer 1

由函数f(x)=x3+(2+

m

2

)x2-2x，得：f^′（x）=3x²+（4+m）x-2．
要使对于任意的t∈[1，2]，函数f(x)=x3+(2+

m

2

)x2-2x在区间（t，3）上总存在极值，
说明导函数f^′（x）的值在（t，3）上有正有负，
因为二次函数f^′（x）=3x²+（4+m）x-2的图象开口向上，且横过定点（0，-2），
所以，只需

f′(t)＜0 f′(3)＞0

，即

3t2+(4+m)t-2＜0① 27+3(4+m)-2＞0②

，
由①得：m＜-3t+

2

t

-4（1≤t≤2）．而(-3t+

2

t

-4)min=-3×2+

2

2

-4=-9．
所以，m＜-9．
由②得：m＞-

37

3

．
所以，使得对于任意的t∈[1，2]，函数f(x)=x3+(2+

m

2

)x2-2x在区间（t，3）上总存在极值的m的范围是-

37

3

＜m＜-9．
故选B．