Question

12．已知圆C：x²+y²-2ax+4ay+5a²-25=0的圆心在直线l₁：x+y+2=0上，则圆C截直线l₂：3x+4y-5=0所得的弦长为8．

Answer 1

分析 先求出圆C：x²+y²-2ax+4ay+5a²-25=0的圆心C（2，-4），半径r=5，再过河卒子 同圆C（2，-4）直线l₂：3x+4y-5=0的距离d=3，由此能求出圆C截直线l₂：3x+4y-5=0所得的弦长．

解答 解：∵圆C：x²+y²-2ax+4ay+5a²-25=0的圆心C（a，-2a）在直线l₁：x+y+2=0上，
∴a-2a+2=0，解得a=2，
∴圆C：x²+y²-2ax+4ay+5a²-25=0的圆心C（2，-4），
半径r=$\frac{1}{2}\sqrt{16+64+20}$=5，
圆心C（2，-4）直线l₂：3x+4y-5=0的距离d=$\frac{|6-16-5|}{\sqrt{9+16}}$=3，
∴圆C截直线l₂：3x+4y-5=0所得的弦长|AB|=2$\sqrt{{r}^{2}-{d}^{2}}$=2$\sqrt{25-9}$=8．
故答案为：8．

点评 本题考查圆截直线所得弦长的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意圆的性质、点到直线的距离公式的合理运用．