Question

（2013•海口二模）设函数f（x）=ax²+cosx
（Ⅰ）证明：a≥

1

2

时，函数f（x）在[0，+∞）上单调递增；
（Ⅱ）证明：4sinx+2xlnx-3x²-1≤0恒成立．

Answer 1

分析：（I）求导数，利用函数f（x）=ax²+cosx的导数在在[0，+∞）上恒大于等于0，可得f（x）在[0，+∞）上单调递增；
（II）要证4sinx+2xlnx-3x²-1≤0，只需证-2xlnx+3x²+1≥4sinx，即x(-2lnx+3x+

1

x

)≥4sinx．构造函数h(x)=-2lnx+3x+

1

x

，求导函数可得x∈（0，1）时，h'（x）＜0，h（x）单调递减；当x∈[1，+∞）时，h'（x）≥0，h（x）单调递增，求出h（x）最小值，结合（I）的结论即可得证．

解答：证明：（Ⅰ）g（x）=f'（x）=2ax-sinx，则g（0）=0，g'（x）=2a-cosx，（1分）
∵a≥

1

2

，-1≤cosx≤1，
∴g'（x）=2a-cosx≥1-cosx≥1-1=0．
∴g（x）在[0，+∞）单调递增                         （3分）
∴g_min（x）=g（0）=0，
即f'（x）≥0，（5分）
从而f（x）在[0，+∞）上单调递增；（6分）
（Ⅱ）证明：要证4sinx+2xlnx-3x²-1≤0，
只需证-2xlnx+3x²+1≥4sinx，即x(-2lnx+3x+

1

x

)≥4sinx，证明如下：
设h(x)=-2lnx+3x+

1

x

，则h′(x)=-

2

x

+3-

1

x2

=

3x2-2x-1

x2

=

(3x+1)(x-1)

x2

，（8分）
已知当x∈（0，1）时，h'（x）＜0，h（x）单调递减；
当x∈[1，+∞）时，h'（x）≥0，h（x）单调递增．
∴h（x）在（0，+∞）上的最小值为h（1）=4，即h(x)=-2lnx+3x+

1

x

≥4，（10分）
又由（Ⅰ），当a=

1

2

且x＞0时，x＞sinx，
∴x(-2lnx+3x+

1

x

)≥4sinx，即不等式4sinx+2xlnx-3x²-1≤0恒成立．（12分）

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与最值，解题时构造函数是关键．