Question

16．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=$\frac{1}{2}$，S_n=n²a_n-n（n-1），n=1，2，…求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析 S_n=n²a_n-n（n-1），当n=2时，解得a₂=$\frac{5}{6}$．当n≥2时，S_n-1=（n-1）²a_n-1-（n-1）（n-2），可得：（n+1）a_n-（n-1）a_n-1-2=0，当n≥3时，na_n-1-（n-2）a_n-2-2=0，变形为（n+1）a_n-na_n-1=（n-1）a_n-1-（n-2）a_n-2，利用等比数列的通项公式可得：（n+1）a_n-na_n-1=$\frac{7}{6}$，数列{（n+1）a_n}从第三项开始为等差数列，即可得出．

解答 解：∵S_n=n²a_n-n（n-1），
∴当n=2时，$\frac{1}{2}+{a}_{2}$=4a₂-2，解得a₂=$\frac{5}{6}$．
当n≥2时，S_n-1=（n-1）²a_n-1-（n-1）（n-2），
可得：a_n=n²a_n-（n-1）²a_n-1+2-2n，
化为（n+1）a_n-（n-1）a_n-1-2=0，
当n≥3时，na_n-1-（n-2）a_n-2-2=0，
∴（n+1）a_n-na_n-1=（n-1）a_n-1-（n-2）a_n-2，
∴数列{（n+1）a_n-na_n-1}（n≥2）是等比数列，首项为2a₂-a₁=$\frac{7}{6}$，公比为1．
∴（n+1）a_n-na_n-1=$\frac{7}{6}$，
∴数列{（n+1）a_n}从第三项开始为等差数列，4a₃=$\frac{11}{3}$，公差为$\frac{7}{6}$．
∴（n+1）a_n=$\frac{11}{3}$+$\frac{7}{6}$（n-3），
∴a_n=$\frac{7n+1}{6n+6}$．（n≥3）．
当n=2时也成立，
∴a_n=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}，n=1}\\{\frac{7n+1}{6n+6}，n≥2}\end{array}\right.$．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式，考查了变形能力、推理能力与计算能力，属于中档题．