Question

1．如图，E是圆内两弦AB和CD的交点，F为AD延长线上一点，FG切圆于G，且FE=FG．
（I）证明：FE∥BC；
（Ⅱ）若AB⊥CD，∠DEF=30°，求$\frac{AF}{FG}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用切割线定理，EF=FG可得$\frac{FE}{FD}=\frac{FA}{FE}$，利用∠EFD=∠AFE，可得△DEF∽△EAF，再利用圆周角定理证明∠DEF=∠EAF=∠DCB，即可得证FE∥BC；
（Ⅱ）由已知可求∠EAD=30°，解得$\frac{ED}{AE}$=tan30°=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，利用相似三角形的性质即可得解$\frac{AF}{FG}$的值．

解答 （本题满分为10分）
证明：（Ⅰ）由切割线定理得：FG²=FA•FD．
又EF=FG，所以EF²=FA•FD，即$\frac{FE}{FD}=\frac{FA}{FE}$
因为∠EFD=∠AFE，所以△FED∽△EAF．
又∠DAB，∠DCB都是弧DB上的圆周角，有∠DEF=∠EAF=∠DCB，
所以，FE∥BC，…（6分）
（Ⅱ）由AB⊥CD，得∠AED=90°．
因为∠EAD=∠DEF=30°，
所以$\frac{ED}{AE}$=tan30°=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
所以$\frac{AF}{FG}$=$\frac{AF}{FE}$=$\frac{AE}{ED}$=$\sqrt{3}$．…（10分）

点评 本题考查切割线定理，考查三角形相似的判断和性质，考查了数形结合思想和转化思想的应用，属于中档题．