Question

20．已知几何体P-ABCD如图，面ABCD为矩形，面ABCD⊥面PAB，且面PAB为正三角形，若AB=2，AD=1，E、F分别为AC、BP中点，
（Ⅰ）求证：EF∥面PCD；
（Ⅱ）求直线BP与面PAC所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （I）连结BD，则E为BD的中点，利用中位线定理得出EF∥PD，故而EF∥面PCD；
（II）取AP的中点H，连结HB，HC，过B作BO⊥HC于O，连结OP．则可证AP⊥平面BCH，于是AP⊥OB，结合OB⊥CH得出OB⊥平面PAC，于是∠BPO为PB与平面PAC所成的角．利用勾股定理计算BH，CH，OB，得出sin∠BPO=$\frac{BO}{BP}$．

解答 证明：（I）连结BD，
∵四边形ABCD是矩形，E是AC的中点，
∴E是BD的中点．又F是BP的中点，
∴EF∥PD，又EF?平面PCD，PD?平面PBD，
∴EF∥平面PCD．
（II）取AP的中点H，连结HB，HC，过B作BO⊥HC于O，连结OP．
∵面ABCD⊥面PAB，面ABCD∩面PAB=AB，BC⊥AB，
∴BC⊥平面PAB，∵AP?平面PAB，
∴BC⊥AP，
∵△PAB是等边三角形，∴AP⊥HB，
又BC?平面BCH，BH?平面BCH，BC∩BH=B，
∴AP⊥平面BCH，又OB?平面BCH，
∴AP⊥OB，又OB⊥CH，CH?平面PAC，AP?平面PAC，CH∩AP=H，
∴OB⊥平面PAC．
∴∠BPO为PB与平面PAC所成的角．
∵AB=2，BC=1，∴BH=$\sqrt{3}$，CH=$\sqrt{B{C}^{2}+B{H}^{2}}$=2，
∴BO=$\frac{BC•BH}{CH}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴sin∠BPO=$\frac{BO}{BP}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$．
即直线BP与面PAC所成角的正弦值为$\frac{\sqrt{3}}{4}$．

点评 本题考查了线面平行的判定，线面角的计算，作出线面角并注明是解题关键，属于中档题．