题目内容

已知x，y均为正数， $数学公式$ ，且满足 $数学公式$ ， $数学公式$ ，则 $数学公式$ 的值为________．

$\text{[math]}$
分析：由 $\text{[math]}$ ，两边同乘以x²+y²得到 $\text{[math]}$ ；把 $\text{[math]}$ 代入上式得 $\text{[math]}$ ，可化为 $\text{[math]}$ ，
利用立方和公式可以把cos⁶θ+sin⁶θ化为1-3sin²θcos²θ，可化为 $\text{[math]}$ ，与sin²θ+cos²θ=1联立 $\text{[math]}$ ，即可解得sin²θ与cos²θ．再根据 $\text{[math]}$ 得 $\text{[math]}$ ，即可得出sinθ与cosθ，即可求出答案．
解答：∵ $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ ，化为 $\text{[math]}$ ，（*）
∵ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，代人（*）得 $\text{[math]}$ ，
化为 $\text{[math]}$ ，
∵cos⁶θ+sin⁶θ=（cos²θ+sin²θ）（cos⁴θ+sin⁴θ-sin²θcos²θ）=1×[（cos²θ+sin²θ）²-3sin²θcos²θ]=1-3sin²θcos²θ，
∴ $\text{[math]}$ ，
化为 $\text{[math]}$ ，与sin²θ+cos²θ=1联立 $\text{[math]}$ ，解得 $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ ．
由 $\text{[math]}$ 得 $\text{[math]}$ ．故取 $\text{[math]}$ ．解得 $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ ．
故答案为 $\text{[math]}$ ．
点评：本题综合考查了三角函数的恒等变形、单调性、平方关系、立方和公式、配方法、方程思想等基础知识与基本方法，需要较强的推理能力和变形能力、计算能力．