Question

9．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AC上靠近A的三等分点，若$\overrightarrow{BD}$•$\overrightarrow{BC}$=24，|$\overrightarrow{AB}$|=6，则$\overrightarrow{AD}$•$\overrightarrow{AB}$=4

Answer 1

分析 用$\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{AD}$表示出$\overrightarrow{BD}，\overrightarrow{BC}$，根据$\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{BC}=0$得出${\overrightarrow{AD}}^{2}$与$\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{AB}$的关系，代入$\overrightarrow{BD}•\overrightarrow{BC}$=24得出答案．

解答 解：$\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}=3\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}$，
∵∠C=90°，∴$\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{BC}=0$，即$\overrightarrow{AD}•（3\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}）=0$，
∴3${\overrightarrow{AD}}^{2}=\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{AB}$．
∵$\overrightarrow{BD}$•$\overrightarrow{BC}$=24，∴（$\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}$）•（3$\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}$）=3${\overrightarrow{AD}}^{2}$-4$\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{AB}$+${\overrightarrow{AB}}^{2}$=24．
即-3$\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{AB}$+36=24，解得$\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{AB}$=4．
故答案为：4．

点评 本题考查了平面向量线性运算的几何意义，平面向量的数量积运算，属于中档题．