Question

10．已知（1+x）（x+$\frac{1}{{x}^{2}}$）ⁿ的展开式中没有常数项，则n的值可能是（　　）

• A． 9
• B． 10
• C． 11
• D． 12

Answer 1

分析 由于（1+x）（x+$\frac{1}{{x}^{2}}$）ⁿ的展开式中没有常数项，可知：（x+$\frac{1}{{x}^{2}}$）ⁿ的展开式中没有常数项与含$\frac{1}{x}$的项，利用（x+$\frac{1}{{x}^{2}}$）ⁿ的展开式中的通项公式即可得出．

解答 解：∵（1+x）（x+$\frac{1}{{x}^{2}}$）ⁿ的展开式中没有常数项，∴（x+$\frac{1}{{x}^{2}}$）ⁿ的展开式中没有常数项与含$\frac{1}{x}$的项，
（x+$\frac{1}{{x}^{2}}$）ⁿ的展开式中的通项公式：T_r+1=${∁}_{n}^{r}$x^n-r$（\frac{1}{{x}^{2}}）^{r}$=${∁}_{n}^{r}$x^n-3r，（r=0，1，2，…，n）．
经过验证：只有取n=10时，10-3r≠0，-1．
因此n的值可能是10．
故选：B．

点评 本题考查了二项式定理展开式的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．