Question

12．已知函数f（x）=lnx-$\frac{1}{2}$ax+a-2，a∈R．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）当a＜0时，试判断g（x）=xf（x）+2的零点个数．

Answer 1

分析 （I）求出导函数，根据a的取值范围讨论导函数的符号，判断函数的单调性及单调区间；
（II）求出g（x），利用导数判断g（x）的单调性，根据g（x）的值域判断g（x）的零点个数．

解答 解：（Ⅰ）f′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{a}{2}$=$\frac{2-ax}{2x}$（x＞0）．
若a≤0，则f′（x）＞0，∴函数f（x）的单调递增区间为（0，+∞）；
若a＞0，当0＜x＜$\frac{2}{a}$时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增，
当x＞$\frac{2}{a}$时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，
综上，若a≤0时，函数f（x）的单调递增区间为（0，+∞）；
若a＞0时，函数f（x）的单调递增区间为（0，$\frac{2}{a}$），单调递减区间为（$\frac{2}{a}$，+∞）．
（Ⅱ）g（x）=xlnx-$\frac{1}{2}a{x}^{2}$+ax-2x+2，g′（x）=-ax+lnx+a-1．
又a＜0，易知g′（x）在（0，+∞）上单调递增，g′（1）=-1＜0，g′（e）=-ae+a=a（1-e）＞0，
故而g′（x）在（1，e）上存在唯一的零点x₀，使得g′（x₀）=0．
当0＜x＜x₀时，g′（x）＜0，g（x）单调递减；当x＞x₀时，g′（x）＞0，g（x）单调递增．
取x₁=e^a，又a＜0，∴0＜x₁＜1，
∴g（x₁）=x₁（lnx₁-$\frac{1}{2}a{x}_{1}$+a-2+$\frac{2}{{x}_{1}}$）=e^a（a-$\frac{1}{2}$ae^a+a-2+$\frac{2}{{e}^{a}}$），
设h（a）=a-$\frac{1}{2}$ae^a+a-2+$\frac{2}{{e}^{a}}$，（a＜0），h′（a）=-$\frac{1}{2}$ae^a-$\frac{1}{2}$e^a-$\frac{2}{{e}^{a}}$+2，（a＜0），h′（0）=-$\frac{1}{2}$，
h″（a）=e^-a-e^a+e^-a-$\frac{1}{2}$ae^a＞0，
∴h′（a）在（-∞，0）上单调递增，h′（a）＜h′（0）＜0，
∴h（a）在（-∞，0）上单调递减，∴h（a）＞h（0）=0，
∴g（x₁）＞0，即当a＜0时，g（e^a）＞0．
当x趋于+∞时，g（x）趋于+∞，且g（2）=2ln2-2＜0．
∴函数g（x）在（0，+∞）上始终有两个零点．

点评 本题考查了导数与函数单调性的关系，函数零点个数与单调性的关系，属于中档题．