Question

16．已知向量$\overrightarrow a=（cosx-sinx，2cosx）$，$\overrightarrow b=（cosx+sinx，sinx）（x∈R）$，则函数$f（x）={（\overrightarrow a•\overrightarrow b）^2}-1$是（　　）

• A． 周期为π的偶函数
• B． 周期为π的奇函数
• C． 周期为$\frac{π}{2}$的偶函数
• D． 周期为$\frac{π}{2}$的奇函数

Answer 1

分析 利用数量积公式和二倍角公式化简f（x）．

解答 解：∵向量$\overrightarrow a=（cosx-sinx，2cosx）$，$\overrightarrow b=（cosx+sinx，sinx）（x∈R）$，
则函数$f（x）={（\overrightarrow a•\overrightarrow b）^2}-1$=[（cosx-sinx）（cosx+sinx）+2sinxcosx]²-1=（cos2x-sin2x）²-1=1-2sin2xcos2x-1=-sin4x，
∴f（x）的周期为T=$\frac{2π}{4}$=$\frac{π}{2}$．
∵f（-x）=-sin（-4x）=sin4x=-f（x），
∴f（x）是奇函数．
故选：D．

点评 本题考查了平面向量的数量积运算，三角函数的恒等变换，属于基础题．