Question

对任意x₁∈R，存在x₂∈[1，2]，使不等式x₁²+x₁x₂+x₂²≥2x₁+mx₂+3成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：计算题,函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：运用配方和二次函数的最值，可得0≥mx₂+3-x₂²+

(x2-2)2

4

，再由参数分离，可得4m-4≤3x₂-

16

x2

在[1，2]有解，求出右边的最大值，解不等式即可得到m的范围．

解答： 解：由于x₁²+x₁x₂+x₂²≥2x₁+mx₂+3
即为x₁²+x₁（x₂-2）+

(x2-2)2

4

=（x₁+

x2-2

2

）²
≥mx₂+3-x₂²+

(x2-2)2

4

，
由于任意x₁∈R，存在x₂∈[1，2]，使不等式x₁²+x₁x₂+x₂²≥2x₁+mx₂+3成立，
则有（4m-4）x₂≤3x₂²-16，即有4m-4≤3x₂-

16

x2

在[1，2]有解，
则4m-4≤3×2-8，解得m≤

1

2

．
则有m的取值范围是（-∞，

1

2

]．

点评：本题考查函数的恒成立和有解的求法，考查函数的最值的求法，考查运算能力，属于中档题和易错题．