Question

15．向量$\overrightarrow{a}$=（2cosα，2sinα），$\overrightarrow{b}$=（3cosβ，3sinβ），$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为60°，则直线xcosα-ysinα=$\frac{1}{2}$与（x-cosβ）²+（y+sinβ）²=$\frac{1}{2}$的位置关系是（　　）

• A． 相切
• B． 相交
• C． 相离
• D． 随α，β的值而定

Answer 1

分析 由$cos60°=\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|}$及向量$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$的坐标便可得出$cosαcosβ+sinαsinβ=\frac{1}{2}$，可知方程$（x-cosβ）^{2}+（y+sinβ）^{2}=\frac{1}{2}$表示圆心为（cosβ，-sinβ），半径为$\frac{\sqrt{2}}{2}$的圆，而由前面求出的$cosαcosβ+sinαsinβ=\frac{1}{2}$即可求出圆心到直线$xcosα-ysinα=\frac{1}{2}$的距离，这样便可判断直线和圆的位置关系．

解答 解：根据条件，$cos60°=\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|}=\frac{6cosαcosβ+6sinαsinβ}{2•3}$=$cosαcosβ+sinαsinβ=\frac{1}{2}$；
方程$（x-cosβ）^{2}+（y+sinβ）^{2}=\frac{1}{2}$表示以（cosβ，-sinβ）为圆心，半径为$\frac{\sqrt{2}}{2}$的圆；
∴圆心（cosβ，-sinβ）到直线xcosα-ysinα=$\frac{1}{2}$的距离为：$\frac{|cosβcosα+sinβsinα-\frac{1}{2}|}{1}=0$；
∴所求的位置关系为：相交．
故选B．

点评 考查向量夹角的余弦公式，向量数量积的坐标运算，根据向量坐标能求向量的长度，cos²α+sin²α=1，以及圆的标准方程，点到直线的距离，直线和圆位置关系的判断方法．