题目内容

已知抛物线y=ax²+bx+c与直线y=-bx交于A、B两点，其中a＞b＞c，a+b+c=0，设线段AB在x轴上的射影为A₁B₁，则|A₁B₁|的取值范围是

A.
$数学公式$
B.
$数学公式$
C.
$数学公式$
D.
$数学公式$

A
分析：先设出A，B坐标，把抛物线方程和直线方程联立消去y，进而根据韦达定理表示出x₁+x₂和，x₁x₂，利用配方法表示出|A₁B₁|，进而根据a+b+c=0求得关于a和b的|A₁B₁|的表达式，进而根据a＞b＞c，a+b+c=0，求得 $\text{[math]}$ 范围，代入|A₁B₁|的表达式求得|A₁B₁|的范围．
解答：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）把抛物线y=ax²+bx+c与直线y=-bx联立，得0=ax²+2bx+c
∴x₁+x₂=- $\text{[math]}$ ，x₁x₂= $\text{[math]}$ ．
∴|A₁B₁|= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
∵a+b+c=0
∴c=-a-b，|A₁B₁|= $\text{[math]}$
∵a＞b＞c，a+b+c=0，所以c=-a-b＜a，2a＞-b，因为a＞b所以a＞-2a，a＞0；a＞- $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ ∈（-2，1）
∴二次函数y= $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ -1值域为（ $\text{[math]}$ ，3）
∴|A₁B₁|∈（ $\text{[math]}$ ，2 $\text{[math]}$ ）
故答案为：（ $\text{[math]}$ ，2 $\text{[math]}$ ）
点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的关系．直线与圆锥曲线的综合问题是支撑圆锥曲线知识体系的重点内容，平时应加强复习．