Question

抛物线y²=2px（p＞0）与双曲线x²-y²=1相交的一个交点为M，双曲线的两焦点分别为F₁、F₂，若MF1•MF2=

5

4

，
（I）证明：M点在F₁、F₂为焦点的椭圆上；
（II）求抛物线方程．

Answer 1

分析：（I）设M（m，n）（m＞0），因M点在双曲线x²-y²=1，根据双曲线的焦半径公式得：MF₁=

2

m+1，MF₂=

2

m-1，结合MF1•MF2=

5

4

求得m的值，从而得出MF₁+MF₂=3=定值，最后由椭圆的定义得出结论即可；
（II）由（I）得M的坐标为：（

3 2

4

，±

2

4

）代入抛物线方程y²=2px（p＞0）得焦参数，最后写出抛物线方程．

解答：解：（I）设M（m，n）（m＞0），因M点在双曲线x²-y²=1，
根据双曲线的焦半径公式得：
MF₁=

2

m+1，MF₂=

2

m-1，
∵MF1•MF2=

5

4

∴（

2

m+1）（

2

m-1）=

5

4

，⇒m=

3 2

4

∴MF₁+MF₂=3=定值，即点M到F₁、F₂的距离之和为定值，且大于|F₁F₂|，
由椭圆的定义得：M点在F₁、F₂为焦点的椭圆上．
（II）由（I）得M的坐标为：（

3 2

4

，±

2

4

）
代入抛物线方程y²=2px（p＞0）得：2p=

2

12

∴抛物线方程是：y2=

2

12

x．

点评：本小题主要考查圆锥曲线的共同特征、椭圆的方程及几何性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．