题目内容

已知曲线 $数学公式$ （t为参数），曲线 $数学公式$ （θ为参数）
（I）将曲线C₁和曲线C₂化为普通方程，并判断两者之间的位置关系；
（II）分别将曲线C₁和曲线C₂上的点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标保持不变，得到新曲线 $数学公式$ 和 $数学公式$ ， $数学公式$ 与 $数学公式$ 的交点个数和C₁与C₂的交点个数是否相同？给出理由．

解：（I）∵曲线C₁： $\text{[math]}$ （t为参数），
∴y=2x+ $\text{[math]}$ ．
∵曲线C₂： $\text{[math]}$ （θ为参数），
∴x²+y²=1．
∵圆心（0，0）到直线y=2x+ $\text{[math]}$ 的距离d= $\text{[math]}$ =圆半径，
∴曲线C₁和曲线C₂相切．
（II）y=2x+ $\text{[math]}$ 上的点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标保持不变，
得到 $\text{[math]}$ ：y=x+ $\text{[math]}$ ．
x²+y²=1上的点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标保持不变，
得到 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ ．
由（Ⅰ）知曲线C₁和曲线C₂相切，故曲线C₁和曲线C₂有一个交点．
把 $\text{[math]}$ ：y=x+ $\text{[math]}$ 代入 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ ，
并整理，得 $\text{[math]}$ ，
∵ $\text{[math]}$ =0，
∴ $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的交点个数也是一个．
即 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的交点个数和C₁与C₂的交点个数相同．
分析：（I）由∵曲线C₁： $\text{[math]}$ （t为参数），知y=2x+ $\text{[math]}$ ．由曲线C₂： $\text{[math]}$ （θ为参数），知x²+y²=1．由此知曲线C₁和曲线C₂相切．
（II）y=2x+ $\text{[math]}$ 上的点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标保持不变，得到 $\text{[math]}$ ：y=x+ $\text{[math]}$ ．x²+y²=1上的点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标保持不变，得到 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ ．由此能得到 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的交点个数和C₁与C₂的交点个数相同．
点评：本题考查直线和圆的参数方程的应用，考查函数的伸缩变换，考查点到直线的距离公式，考查直线和圆、直线和椭圆的位置关系．