Question

11．已知|$\overrightarrow a$|=1，|$\overrightarrow b$|=$\sqrt{2}$，$\overrightarrow a$与$\overrightarrow b$的夹角为θ．
（1）若$\overrightarrow a$∥$\overrightarrow b$，求$\overrightarrow a$•$\overrightarrow b$；
（2）若$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow b$与$\overrightarrow{a}$垂直，求θ．

Answer 1

分析 （1）利用向量共线直接写出夹角，然后利用向量的数量积求解即可．
（2）利用向量垂直数量积为0，列出方程求解即可．

解答 （10分） 解：（1）∵|$\overrightarrow a$|=1，|$\overrightarrow b$|=$\sqrt{2}$，$\overrightarrow a$∥$\overrightarrow b$，∴θ=0°或180°，
∴$\overrightarrow a$•$\overrightarrow b$=|$\overrightarrow a$||$\overrightarrow b$|cosθ=±$\sqrt{2}$．…5’
（2）∵$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow b$与$\overrightarrow{a}$垂直；∴（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow b$）•$\overrightarrow{a}$=0，
即|$\overrightarrow{a}$|²-$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow b$=1-$\sqrt{2}$cos θ=0，
∴cos θ=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
又0°≤θ≤180°，∴θ=45°．…10’

点评 本题考查平面向量的数量积的应用，考查向量共线与垂直的充要条件的应用，考查计算能力．