Question

设函数f（x）=ax³+bx²+cx在x=1和x=-1处有极值，且f（1）=-1，求a，b，c的值，并求出相应的极值．

Answer 1

分析：先求导函数，再利用函数f（x）=ax³+bx²+cx在x=1和x=-1处有极值，且f（1）=-1，可得方程组，从而可求a，b，c的值，考虑函数的单调性，即可确定函数的极值．

解答：解：

f′(x)=3ax2+2bx+c…(2分)

∵f（x）在x=1和x=-1处有极值，且f（1）=-1，
∴

f′(-1)=0 f′(1)=0 f(1)=-1

∴

3a-2b+c=0 3a+2b+c=0 a+b+c=-1

∴

a= 1 2 b=0 c=- 3 2

…（6分）
∴f′(x)=

3

2

x2-

3

2

=

3

2

(x+1)(x-1)
∴函数在（-∞，-1），（1，+∞）上，f′（x）＞0，函数为增函数；
函数在（-1，1）上，f′（x）＜0，函数为减函数，
∴当x=-1时，f（x）有极大值f（-1）=1；
当x=1时，f（x）有极小值f（1）=-1．…（12分）

点评：本题以函数为载体，考查导数的运用，考查函数的极值与单调性，解题的关键是正确运用极值条件．