Question

直线l：y=kx+1与双曲线C：x²-y²=1有且只有一个公共点，求K的值．

Answer 1

分析：联立

y=kx+1 x2-y2=1

，化为（1-k²）x²-2kx-2=0．分类讨论：当1-k²=0时，可得k=±1，此时直线l与等轴双曲线的渐近线，满足题意；当1-k²≠0时，由直线与双曲线有且只有一个公共点，可得△=0，解出即可．

解答：解：联立

y=kx+1 x2-y2=1

，化为（1-k²）x²-2kx-2=0．
①当1-k²=0时，可得k=±1，此时直线l的方程为y=±x+1，分别与等轴双曲线的渐近线y=±x平行，此时直线l与双曲线有且只有一个交点，满足题意；
②当1-k²≠0时，由直线与双曲线有且只有一个公共点，可得△=4k²+8（1-k²）=0，解得k=±

2

．此时满足条件．
综上可得：k=±1，±

2

．

点评：本题考查了直线与双曲线的位置关系及其性质、一元二次方程与△的关系、分类讨论等基础知识与基本方法，属于难题．