Question

1．今年三月份，四川大学某专业对参加研究生考试初试合格后的考生进行复试，有小张、小王、小李三名大学应届毕业生初试合格参加该专业复试，他们能通过复试的概率分别是$\frac{4}{5}$，$\frac{3}{4}$，$\frac{2}{3}$．
（I）求三位同学恰有两位同学通过复试的概率；
（Ⅱ）求通过复试人数ξ的分布列及数学期望Eξ．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设事件A表示“小张能通过复试”，事件B表示“小王能通过复试”，事件C表示“小李能通过复试”，由此能求出三位同学恰有两位同学通过复试的概率．
（Ⅱ）由题意知ξ的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和Eξ．

解答 解：（Ⅰ）设事件A表示“小张能通过复试”，事件B表示“小王能通过复试”，事件C表示“小李能通过复试”，
则P（A）=$\frac{4}{5}$，P（B）=$\frac{3}{4}$，P（C）=$\frac{2}{3}$，
∴三位同学恰有两位同学通过复试的概率为：
P=P（AB$\overline{C}$）+P（A$\overline{B}$C）+P（$\overline{A}BC$）=$\frac{4}{5}×\frac{3}{4}×\frac{1}{3}$+$\frac{4}{5}×\frac{1}{4}×\frac{2}{3}$+$\frac{1}{5}×\frac{3}{4}×\frac{2}{3}$=$\frac{13}{30}$．
（Ⅱ）由题意知ξ的可能取值为0，1，2，3，
P（ξ=0）=P（$\overline{A}\overline{B}\overline{C}$）=$\frac{1}{5}$×$\frac{1}{4}$×$\frac{1}{3}$=$\frac{1}{60}$，
P（ξ=1）=P（$A\overline{B}\overline{C}$）+P（$\overline{A}B\overline{C}$）+P（$\overline{A}\overline{B}C$）=$\frac{4}{5}×\frac{1}{4}×\frac{1}{3}+\frac{1}{5}×\frac{3}{4}×\frac{1}{3}+\frac{1}{5}×\frac{1}{4}×\frac{2}{3}$=$\frac{9}{60}$，
P（ξ=2）=P（AB$\overline{C}$）+P（A$\overline{B}$C）+P（$\overline{A}BC$）=$\frac{4}{5}×\frac{3}{4}×\frac{1}{3}$+$\frac{4}{5}×\frac{1}{4}×\frac{2}{3}$+$\frac{1}{5}×\frac{3}{4}×\frac{2}{3}$=$\frac{26}{60}$．
P（ξ=3）=P（ABC）=$\frac{4}{5}×\frac{3}{4}×\frac{2}{3}$=$\frac{24}{60}$，
∴ξ的分布列为：

ξ	0	1	2	3
P	$\frac{1}{60}$	$\frac{9}{60}$	$\frac{26}{60}$	$\frac{24}{60}$

Eξ=$0×\frac{1}{60}+1×\frac{9}{60}+2×\frac{26}{60}+3×\frac{24}{60}$=$\frac{133}{60}$．

点评 本题考查概率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．