Question

已知a、b为正数，若对于任何大于1的正数x，恒有ax+

x

x-1

＞b成立，求证：

a

+1＞

b

．

Answer 1

分析：题目中条件恒成立，先转化为b小于左式的最小值即可，故先求左式ax+

x

x-1

的最小值，据此即可证得．

解答：证：∵ax+

x

x-1

＞b对于大于1的实数x恒成立，即x＞1时，[ax+

x

x-1

]_min＞b，
而ax+

x

x-1

=a（x-1）+

1

x-1

+1+a≥2

a

+1+a=（

a

+1）²，
当且仅当a（x-1）=

1

x-1

，即x=1+

1

a

＞1时取等号．
故[ax+

x

x-1

]_min=（

a

+1）²．
则（

a

+1）²＞b，即

a

+1＞b．

点评：条件如何利用取决于要证明的不等式两端的差异如何消除．从已知条件出发，利用定义、公理、定理、某些已经证明过的不等式及不等式的性质经过一系列的推理、论证等而推导出所要证明的不等式，这个证明方法叫综合法．