Question

如图所示，椭圆中，B(一c，0)，C(c，0)，AH⊥BC，垂足为H，且．

(1)若A(1，)，求以B、C为焦点并经过点A的椭圆方程；

(2)若以B、C为焦点并经过点A的椭圆的离心率为，试证明：；

(3)D分有向线段的比为，A、D同在以B、C为焦点的椭圆上，当一5≤≤时，求椭圆离心率e的取值范围．

Answer 1

解：(1)∵A(1，)，∴|OH|=1．又，

    ∴c=2

    又， ，

    ∴．

    ∴，∴．

    ∴椭圆方程为．

    (2)设A()，则，又．

    ∴

    ∴，

    ∴

    ∴△BAC为直角三角形．∴AB⊥AC．∴

(3)设椭圆方程为．由知A()，设D()

则①②，又③④

由③得，由①、②代入④整理，得

．

∴整理，得．

又．解得．