Question

已知二次函数f（x）满足f（-1）=0，且x≤f（x）≤

1

2

（x²+1）对一切实数x恒成立．
（1）求f（1）；
（2）求f（x）的解析表达式；
（3）证明：

1

f(1)

+

1

f(2)

+…+

1

f(n)

＞2．

Answer 1

（1）因为x≤f（x）≤

1

2

（x²+1）对一切实数x恒成立．
所以当x=1时，有1≤f（1）≤

1

2

（1+1）=1，
所以f（1）=1．
（2）设二次函数f（x）=ax²+bx+c，a≠0，
因为f（1）=1，f（-1）=0，
所以a+c=b=

1

2

．
因为f（x）≥x对一切实数x恒成立，
即ax²+（b-1）x+c≥0，所以必有

a＞0 △=(b-1)2-4ac≤0

，解得a＞0，ac≥

1

16

，所以c＞0．
因为a+c≥2

ac

=

1

2

，当且仅当a=c=

1

4

取等号，
所以f(x)=

1

4

(x+1)2．
（3）因为

1

f(n)

=

4

(n+1)2

＞

4

(n+1)(n+2)

=4(

1

n+1

-

1

n+2

)，
所以

1

f(1)

+

1

f(2)

+…+

1

f(n)

＞4(

1

2

-

1

n+2

)＞4×

1

2

=2．
故不等式

1

f(1)

+

1

f(2)

+…+

1

f(n)

＞2成立．