证明为R上的单调递增函数题目和参考答案——青夏教育精英家教网——

题目内容

（10分）证明为R上的单调递增函数

【答案】

见解析。

【解析】

试题分析：设是R上的任意两个实数且，则，因为，所以x₁-x₂<0.有x₁²+x₂²+x₁x₂>0,

所以(x₁-x₂)( x₁²+x₂²+x₁x₂)<0,即,所以为R上的单调递增函数。

考点：本题考查用定义证明函数的单调性。

点评：用定义证明函数单调性的步骤：一设二作差三变形四判断符号五得出结论。

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（Ⅰ）求证：A⊆B；
（Ⅱ）若f（x）=ax²-1（a∈R，x∈R），且A=B≠∅，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）若f（x）是R上的单调递增函数，x₀是函数的稳定点，问x₀是函数的不动点吗？若是，请证明你的结论；若不是，请说明的理由．

已知函数f（x）为定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=x²-2x-3．
（1）求f（x）在R上的解析式；
（2）画出函数y=f（x）图象的示意图；
（3）根据图象写出函数y=f（x）的单调递增（减）区间（不需要证明）．

对于函数f(x)，若f(x)＝x，则称x为f(x)的“不动点”；若f(f(x))＝x，则称x为f(x)的“稳定点”．函数的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为A和B，即A＝{x|f(x)＝x}，B＝{x|f(f(x))＝x}．

(1)求证；

(2)若f(x)＝ax²－1(a∈R，x∈R)，且，求实数a的取值范围；

(3)若f(x)是R上的单调递增函数，x₀是函数的稳定点，问x₀是函数的不动点吗？若是，请证明你的结论；若不是，请说明理由．

函数y=f（x）的定义域为R，对任意

恒成立，当

，试证明：
（1）若x＞0，则f（x）＞0；（2）f（x）是R上的单调递增函数。