Question

已知数列{a_n}的前n项和为，{b_n}为等比数列，且．
（Ⅰ）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）设，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由数列{a_n}的前n项和为，能求出a_n=4n-2．由{b_n}为等比数列，且，能求出b_n．
（Ⅱ）由a_n=4n-2，b_n=2^3-2n，知==．故数列{c_n}的前n项和T_n=1+++…++，由此利用错位相减法能求出数列{c_n}的前n项和T_n．
解答：解：（Ⅰ）∵数列{a_n}的前n项和为，
∴a₁=S₁=2，
a_n=S_n-S_n-1=2n²-2（n-1）²=4n-2．
当n=1时，4n-2=2=a₁，
∴a_n=4n-2．
∵{b_n}为等比数列，且，
∴b₁=2，，
解得q=．
∴b_n=2×（）^n-1=2^3-2n．
（Ⅱ）∵a_n=4n-2，b_n=2^3-2n，
∴==．
∴数列{c_n}的前n项和T_n=1+++…++，①
2²S_n=+++…++，②
①-②，-3S_n=1+（2³+2⁵+2⁷+…+2^2n-1）-=1+-=1+，
∴S_n=-+（1-4^n-1）+．
点评：本题考查数列的通项公式和前n项和公式的应用，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．